MATEMÁTICOS Y FÍSICOS FAMOSOS

Esta página contiene las biografias de los siguientes matemátIcos y/o físicos notables

Atiyah, Sir Michael F.

Bacon, Roger.

Cantor, Georg Ferdinand Ludwig Philipp

Clavius, Christopher

Donaldson, Simon Kirwan.

Euler, Leonhard.

Fermat, Pierre de

Fibonacci, Leonardo da Pisa

Freedman, Michael Hartley

Klein, Felix Christian

Kronecker,  Leopold.

Mandelbrot, Benoit B.

Moebius, August Ferdinand

Newton, Sir Isaac

Pascal, Blaise.

Pitágoras.

Plateau, Joseph Antoine Ferdinand.

Platón

Poincaré, Henry

Taniyama, Yutaka

Wiles, Andrew.

Atiyah, Sir Michael F.  Nació el 22 de abril de1929 en Londres, Inglaterra.   Su padre era libanés y su madre escocesa. Su educación la recibió parcialmente en El Cairo, en el Victoria College, y posteriormente en Manchester, en la Manchester Grammar School. Al terminar la escuela hizo su servicio militar, que a la sazón era obligatorio, y después entró al Trinity College, en Cambridge.

Después de obtener su licenciatura (BA), Atiyah comenzó a hacer investigación en Cambridge para obtener su doctorado. Después fue nombrado fellow del Trinity College, de Cambridge en 1954. Atiyah disfrutó de una estancia durante 1955 como Commonwealth Fellow en el Instituto para Estudios Avanzados en Princeton. A su regreso a Cambridge impartió cátedra en 1957 y fue designadofellow del Pembroke College a partir de 1958. Permaneció en Cambridge hasta 1961 cuando obtuvo una cátedra en la Universidad de Oxford de la que lo nombraron fellow del St. Catherine's College.

Atiyah pronto ocupó la prestigiosa Cátedra Saviliana de Geometría en Oxford desde 1963, la cual conservó hasta 1969 cuando fue designado profesor de matemáticas en el Instituto para Estudios Avanzados en Princeton. Después de tres años en Princeton, Atiyah regresó a Inglaterra, donde fue nombrado Profesor Investigador de la Real Sociedad en Oxford.

Oxford se mantuvo como base de operaciones de Atiyah hasta 1990 cuando se convirtió en Master del Trinity College, Cambridge, y Director del recién fundado Instituto “Isaac Newton“ para Ciencias Matemáticas en Cambridge.

Atiyah mostró cómo el estudio de los llamados haces vectoriales podía ser visto como el estudio de una teoría de cohomología, denominada teoría K. La primera etapa de la obra de Atiyah puede describirse [1] como sigue:

Michael Atiyah ha hecho contribuciones en una amplia gama de temas de matemáticas centrados alrededor de la interacción entre la geometría y el análisis. Su primera contribución importante (en colaboración con F. Hirzebruch) fue el desarrollo de una nueva y poderosa técnica en topología (teoría K) que condujo a la solución de muchos problemas extraordinariamente difíciles. Posteriormente (en colaboración con I. M. Singer) estableció un importante teorema acerca  del número de soluciones de ecuaciones diferenciales elípticas. Este ‘teorema del índice’ tenía sus antecedentes en la geometría algebraica y condujo a importantes nuevos vínculos entre la geometría diferencial, la topología y el análisis. Combinado con ciertas consideraciones de simetría lo llevó(junto con R. Bott) a un nuevo y refinado 'teorema de punto fijo’ con vastas aplicaciones.

Por estos primeros logros se le otorgó la Medalla Fields en el Congreso Internacional de Matemáticos en Moscú en 1966. Fue Henri Cartan [2] quien hizo entonces la presentación de la obra de Atiyah. La teoría K y el teorema del índice se estudian en su libro K-theory (1967, reimpreso en 1989) y su trabajo conjunto con I. M. Singer The index of elliptic operators I-V en los Annals of Mathematics, volúmenes 88 y 93 (1968, 1971). Atiyah también describió su trabajo sobre el teorema del índice en la plática The index of elliptic operators impartida en el Coloquio de la Sociedad Matemática Americana en 1973.

Las ideas que condujeron a que Atiyah obtuviese la Medalla Fields probaron posteriormente su relevancia en las teorías de norma de partículas elementales[3]:

El teorema del índice puede interpretarse en términos de la teoría cuántica y ha probado ser una útil herramienta para los físicos teóricos. Más allá de estos problemas lineales, las teorías de norma involucran profundas e interesantes ecuaciones diferenciales no lineales. En particular, las ecuaciones de Yang-Mills se han convertido en un tema muy fructífero para los matemáticos. Atiyah puso en marcha buena parte de los trabajos iniciales en este campo y su estudiante Simon Donaldson lo continuó haciendo uso espectacular de estas ideas en geometría de dimensión cuatro. Más recientemente, Atiyah ha influido mucho en hacer valer el papel de la topología en la teoría de campos cuánticos y en llamar la atención a la comunidad matemática sobre el trabajo de los físicos teóricos, especialmente el de E. Witten.

Las teorías de superespacio y supergravedad, así como la teoría de cuerdas de partículas elementales, que involucra la teoría de las superficies de Riemann de una manera novel e inesperada, son las áreas de la física teórica que se desarrollaron usando las ideas que introdujera Atiyah.

Atiyah ha recibido múltiples reconocimientos durante su carrera además de la Medalla Fields mencionada antes, de modo que resulta imposible mencionar más de unos cuantos aquí. Fue electoFellow de la Real Sociedad de Gran Bretaña en 1962 a la edad de 32 años. Recibió la Medalla Real de la Sociedad en 1968 y su Medalla Copley en 1988. Impartió la Conferencia Bakeriana de la Real Sociedad sobre Geometría global en 1975 y fue Presidente de la Real Sociedad de 1990 a 1995.

Entre los premios recibidos están el Premio Feltrinelli de la Accademia Nazionale dei Lincei en 1981, el Premio Internacional Rey Faisal para Ciencia en 1987, la Medalla Benjamin Franklin y la Medalla Nehru. También recibió en 1980 la Medalla De Morgan de la Sociedad Matemática de Londres, sociedad de la que fue su Presidente de 1974 a 1976.  Atiyah fue investido Caballero de la Gran Bretaña en 1983 por la Reina Isabel II, por lo que puede usar el título Sir antes de su nombre; posteriormente fue designado miembro de la Orden del Mérito en 1992.

Ha sido miembro correspondiente de muchas academias nacionales entre las que están la de los Estados Unidos, Suecia, Alemania, Francia, Irlanda, India, Australia, China, Rusia y Ucrania. Muchas universidades le han otorgado el doctorado honoris causa, incluidas la de Bonn, Warwick, Durham, St. Andrews, Dublín, Chicago, Edimburgo, Cambridge, Essex, Londres, Sussex, Gante, Reading, Helsinki, Leicester, Rutgers, Salamanca, Montreal, Waterloo, Gales, Queen's-Kingston, Keele, Birmingham, Líbano, la Open University y, más recientemente, la Nacional Autónoma de México.

Basado en un artículo de J. J. O'Connor y E. F. Robertson

Bacon, Roger. Nació en 1214 en Ilchester, Somerset, Inglaterra, y murió en 1294 en Oxford, Inglaterra. En su juventud estudió geometría, aritmética, música y astronomía. Recibió un grado de la Universidad de París alrededor del año 1241, después de lo cual impartió cátedra sobre Aristóteles en París, al tiempo que no parecía tener mayor interés por la ciencia.

Su interés por las matemáticas y la ciencia despertó en Oxford a donde retornó en 1247. Recibió gran influencia de Grosseteste y a partir de entonces dedicó gran parte de su vida a los idiomas, las matemáticas, la óptica y las ciencias en general. Particularmente se concentró en el estudio de estos temas en Oxford desde su llegada en 1247, hasta 1257.

Su contribución matemática fundamental es la aplicación de la geometría a la óptica.  Solía decir:

Las matemáticas son la puerta y la llave de las ciencias.

Bacon continuó el interés de Grosseteste en impulsar el uso de lentes de aumento como ayuda a la visión natural.  Hizo observaciones sistemáticas con lentes y espejos. Parece que planeó e interpretó sus experimentos con un enfoque científico notablemente moderno. Sin embargo, muchos de sus experimentos descritos en sus notas nunca los llevó a cabo.

En 1257, quizás por causa de su quebrantada salud, abandonó la Universidad de Oxford y entró en la Orden de los Frailes Minoritas, aunque mantuvo su interés por el estudió científico, lo cual no fue apreciado por sus superiores. Le escribió al Papa Clemente IV en 1266, en términos muy semejantes a los que habría utilizado un matemático hoy día, para proponerle la escritura de una gran enciclopedia de todas las ciencias elaborada por un equipo de colaboradores y coordinada por un grupo eclesiástico.

El Papa Clemente IV, por no estar acostumbrado a recibir propuestas de tal naturaleza, no comprendió bien los deseos de Bacon y creyó que lo que proponía era una enciclopedia científica que ya existía. Le pidió que se la mostrara y, como Bacon no podía desobedecer al Papa, rápidamente escribió la Opus maius (Obra Mayor), la Opus minus (Obra Menor) y la Opus tertium (Obra Tercera).

Este asombroso logro fue hecho en secreto, pues sus superiores se oponían violentamente a ese trabajo. El objetivo de Bacon era mostrarle al Papa que las ciencias jugaban un papel central en los programas universitarios. En su Opus maius escribió una sombrosa colección de ideas, por ejemplo, una de un telescopio:

Podemos dar forma a cuerpos transparentes y disponerlos de tal forma con respecto a nuestros ojos y a los objetos que deseamos observar, que los rayos sean reflejados y desviados en la dirección que deseemos, y bajo cualquier ángulo que queramos, podremos ver el objeto cerca... Así, podremos lograr hacer bajar en apariencia hasta nosotros al sol, la luna y las estrellas...

En 1268 falleció Clemente IV y las posibilidades de Bacon de ver fructificar su gran proyecto se desvanecieron.  Entonces se embarcó en otro gran proyecto y comenzó a escribir los Communia naturalium (Principios Generales de la Filosofía Natural) y los Communia matematica (Principios Generales de la Ciencia Matemática).

Solo partes de ellos llegaron a ser publicadas; probablemente la mayor parte ni siquiera fue escrita. No obstante, después de hacer nuevas observaciones, hizo otra vez importantes afirmaciones sobre la astronomía y la reforma del calendario.

Bacon consideraba la Tierra como un objeto esférico con la posibilidad de circunnavegarla. Estimó la distancia a las estrellas en 130 millones de millas.

Por 1278 Bacon fue encarcelado por sus cofrades franciscanos, bajo el cargo de novedades sospechosas en su enseñanza. Esto no lo hizo alejarse de mantener sus puntos de vista; éstos aparecen de manera tan contundente en sus últimos escritos de 1293 como en cualquiera otra época de su vida.

Basado en un artículo de J. J. O'Connor y E. F. Robertson

Cantor, Georg Ferdinand Ludwig Philipp. Nació el 3 de marzo de 1845 en San Petersburgo, Rusia, y murió el 6 de enero de 1918 en Halle, Alemania. El padre de Georg Cantor, Georg Waldemar Cantor, era un exitoso mercader, que trabajaba como agente mayorista en San Petersburgo, después como corredor de bolsa en la Bolsa de Valores de San Petersburgo. Georg Waldemar Cantor había nacido en Dinamarca y era un hombre con profudo amor por la cultura y las artes. La madre de Georg, María Anna Böhm, era rusa y muy musical. Ciertamente, Georg heredó considerables talentos musicales y artísticos de sus padres que lo convirtieron en un sobresaliente violinista. Georg creció en la fe cristiana como protestante, que era la religion de su padre, en tanto que su madre era católica romana.

Después de su primera educación en casa a cargo de un tutor privado, Cantor asistió a la escuela primaria en San Petersburgo. Después, en 1856, cuando tenía once años, la familia se mudó a Alemania. Sin embargo, Cantor:-

... recordaba sus primeros años en Rusia con gran nostalgia y nunca se sintió bien en Alemania, aunque ahí vivió por el resto de su vida y aparentemente nunca escribió nada en ruso, lengua que debe de haber conocido bien.

El padre de Cantor tenía una salud endeble y se fue a Alemania para buscar un clima más tibio que los duros inviernos de San Petersburgo. Primero vivieron en Wiesbaden, donde Cantor asistió alGymnasium, y después se mudaron a Frankfurt. Cantor estudió en la Realschule de Darmstadt, donde vivió en una pensión. Se graduó en 1860 con un extraordinario informe, en el que se hacía particular mención de su gran talento en matemáticas, en particular, en trigonometría. Después de asistir a la Höhere Gewerbeschule en Darmstadt en 1860 entró al Politécnico de Zurich en 1862. La razón por la cual su padre decidió enviarlo a la Höhere Gewerbeschule fue que deseaba que Cantor se convirtiera en:

... una brillante estrella en el firmamento de la ingeniería.

Sin embargo, en 1862 Cantor pidió permiso a su padre de estudiar matemáticas en la universidad, y con enorme gozo obtuvo finalmente el consentimiento de su padre. Sus estudios en Zurich, no obstante, fueron interrumpidos por el fallecimiento de su padre en junio de 1863. Cantor se cambió a la Universidad de Berlín, donde se hizo amigo de Hermann Schwarz, que fue su compañero allí. Cantor tomó clases con Weierstrass, Kummer y Kronecker. El semestre de verano de 1866 lo pasó en la Universidad de Göttingen, y regresó a Berlín para terminar su tesis doctoral sobre teoría de números De aequationibus secundi gradus indeterminatis en 1867.

Durante su estancia en Berlín, Cantor se involucró con la Sociedad Matemática, de la cual fue presidente de 1864 a 1865. También formó parte de un pequeño grupo de jóvenes matemáticos que se reunían semanalmente en una vinatería. Después de obtener su doctorado en 1867, Cantor fue maestro en una escuela de niñas en Berlin. Después, en 1868, se unió al Seminario Schellbach para maestros de matemáticas. Durante esta etapa, trabajó en su habilitación e inmediatamente después de que obtuvo una plaza en Halle en 1869, presentó su trabajo, de nuevo sobre teoría de números, y recibió su habilitación.

En Halle cambió la dirección de la investigación de Cantor de la teoría de números al análisis. Esto se debió a Heine, uno de sus colegas mayores en Halle, quien desafió a Cantor a que probara el problema abierto sobre la unicidad de la representación de una función como una serie trigonométrica. Éste era un problema difícil que había sido atacado por muchos matemáticos, incluido el propio Heine así como Dirichlet, Lipschitz y Riemann. Cantor resolvió el problema probando la unicidad de la representación en abril de 1870. Entre 1870 y 1872 publicó varios artículos que trataron las series trigonométricas, los que mostraron las enseñanzas de Weierstrass.

Cantor fue promovido a Profesor Extraordinario en Halle en 1872, año en el que entabló amistad con Dedekind, a quien conoció durante unas vacaciones en Suiza. Cantor publicó un artículo sobre series trigonométricas en 1872, en el cual definió los números irracionales en términos de sucesiones convergentes de números racionales. Dedekind publicó su definición de los números reales por "cortaduras de Dedekind" también en 1872 y en este artículo Dedekind cita el artículo de Cantor de 1872, que Cantor le había enviado.

En 1873 Cantor probó que los números racionales son numerables, es decir, se pueden poner en correspondencia biunívoca con los números naturales. También probó que los números algebraicos, es decir, los números que son soluciones de ecuaciones polinomiales con coeficientes enteros, son numerables. Sin embargo, sus intentos por decidir si los números reales son numerables resultaron más difíciles. En diciembre de 1873 logró probar que el conjunto de los números reales no era numerable y en 1874 lo publicó en un artículo. Es en este artículo que aparece por primera vez la idea de una correspondencia biunívoca, aunque sólo queda implícita en el trabajo.

Un número trascendente es un número irracional que no es raíz de ningún polinomio con coeficientes enteros. Liouville estableció en 1851 que los números trascendentes existen. Veinte años después, en su trabajo de 1874, Cantor probó que en cierto sentido 'casi todos' los números son trascendentes, al probar que los números reales no son numerables, mientras que los números algebraicos sí lo son.

Cantor siguió su trabajo, intercambiando cartas con Dedekind. La siguiente pregunta que se planteó, en enero de 1874, fue si el cuadrado unitario podía aplicarse biunívocamente sobre el intervalo unitario. En una carta a Dedekind fechada el 5 de enero de 1874 escribió:

¿Puede una superficie (digamos, un cuadrado que incluye su frontera) ser referido unívocamente a una línea (digamos, un segmento de recta que incluye los extremos) de modo que para cada punto de la superficie haya un punto correspondiente de la línea e, inversamente, para cada punto de la línea haya un punto correspondiente de la superficie? Yo creo que dar respuesta a esta pregunta no va a ser un trabajo fácil, no obstante el hecho de que la respuesta parece muy claramente ser "no", y la prueba parece casi innecesaria..

El año 1874 fue importante en la vida personal de Cantor. Se comprometió con Vally Guttmann, una amiga de su hermana, en la primavera de ese año. Se casaron el 9 de agosto de 1874 y pasaron su luna de miel en Interlaken, Suiza, donde Cantor pasó mucho tiempo en discusiones matemáticas con Dedekind.

Cantor mantuvo su correspondencia con Dedekind, compartiendo sus ideas y buscando la opinión de Dedekind, y en 1877 le escribió a Dedekind probando que hay una correspondencia biunívoca entre puntos del intervalo [0, 1] y puntos del espacio p-dimensional. Cantor se sorprendió de su propio descubrimiento y escribió:

¡Lo veo, pero no lo creo!

Por supuesto, esto tuvo implicaciones para la geometría y la noción de dimensión de un espacio. Un importante artículo que Cantor envió al Journal de Crelle en 1877 fue tratado con suspicacia por Kronecker, y sólo fue publicado después de que Dedekind interviniera a favor de Cantor. Cantor quedó profundamente resentido por la oposición de Kronecker a su trabajo y nunca volvió a enviar un artículo más al Journal de Crelle.

El artículo que sobre dimensión apareció en el Journal de Crelle en 1878 precisa los conceptos de correspondencia biunívoca. El artículo discute conjuntos numerables, es decir, que están en correspondencia biunívoca con los números naturales. Estudia conjuntos de igual potencia, es decir, aquéllos que están en correspondencia biyectiva uno con el otro. Cantor también discutió el concepto de dimensión y resaltó el hecho de que su correspondencia entre el intervalo [0, 1] y el cuadrado unitario no era una aplicación continua.

Entre 1879 y 1884 Cantor publicó una serie de seis artículos en los Mathematische Annalen diseñados para proporcionar una introducción básica a la teoría de los conjuntos. Posiblemente haya sido Klein quien ejerció una influencia para que los Mathematische Annalen los editara. Sin embargo, había un cierto número de problemas que surgieron durante esos días, que resultaron difíciles para Cantor. Aunque había sido promovido a profesor titular en 1879 por recomendación de Heine, Cantor había esperado obtener una cátedra en una universidad de más prestigio. Su larga correspondencia con Schwarz terminó en 1880 cuando la oposición a las ideas de Cantor siguió creciendo y Schwarz ya no pudo soportar la dirección que estaba tomando el trabajo de Cantor. Entonces, en octubre de 1881 murió Heine se necesitaba un reemplazo para ocupar la cátedra en Halle.

Cantor elaboró una lista de tres matemáticos para ocupar la cátedra de Heine y la lista fue aprobada. Puso a Dedekind en primer lugar, seguido de Heinrich Weber y finalmente de Mertens. Fue un severo golpe para Cantor cuando Dedekind declinó la oferta a principios de 1882, golpe que fue empeorado por la declinación de Heinrich Weber y luego de Mertens también. Después de elaborar una lista nueva, Wangerin fue designado pero nunca se vinculó estrechamente con Cantor. La rica correspondencia matemática entre Cantor y Dedekind terminó más tarde en 1882.

Casi al mismo tiempo que terminó la correspondencia Cantor-Dedekind, Cantor comenzó a establecer importante correspondencia con Mittag-Leffler. Pronto empezó Cantor a publicar en la revista de Mittag-Leffler Acta Mathematica, pero su importante serie de seis artículos en los Mathematische Annalen también continuó apareciendo. El quinto artículo de esta serie, Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre (Fundamentos de una teoría general de variedades) también fue publicado como una monografía separada y fue especialmente importante por varias razones. Primeramente, Cantor se dio cuenta de que su teoría de conjuntos no estaba encontrando la aceptación que había esperado y las Grundlagen habían sido diseñadas para responder a las críticas. En Segundo lugar:

El mayor logro de las Grundlagen fue su presentación de los números transfinitos como una extensión autónoma y sistemática de los números naturales.

Cantor mismo indica en forma bastante clara en el artículo, que se da cuenta de la fuerte oposición a sus ideas:

... me doy cuenta de que en esta empresa me estoy colocando en cierta oposición a la vision ampliamente aceptada concerniente al infinito matemático y a opiniones frecuentemente defendidas sobre la naturaleza de los números.

A finales de mayo de 1884 Cantor tuvo su primer ataque de depresión registrado. Se recuperó después de unas cuantas semanas pero se sentía más inseguro. Le escribió a Mittag-Leffler a finales de junio:

... no sé cuándo regresaré a continuar mi trabajo científico. Por el momento no puedo hacer absolutamente nada y me limito a las más urgentes obligaciones de mis clases; cuánto más feliz estaría yo de estar científicamente activo, si al menos tuviese la frescura mental necesaria.

En algún momento se pensó que su depresión era causada por preocupaciones matemáticas y como resultado de su relación con Kronecker, en particular. Recientemente, sin embargo, una mejor comprensión de las enfermedades mentales ha llevado a asegurar que las preocupaciones matemáticas de Cantor y sus relaciones difíciles resultaban muy exageradas por su depresión, pero no eran la causa. Después de su enfermedad mental de 1884:

... tomó vacaciones en sus montañas favoritas del Harz y por alguna razón decidió tratar de reconciliarse con Kronecker. Kronecker aceptó el gesto, pero debe de haber sido difícil para ambos olvidar su enemistad, y los desacuerdos filosóficos se mantuvieron entre ellos.

Las preocupaciones matemáticas empezaron a inquietar a Cantor ahora, en particular, empezó a preocuparse de que no podría probar la hipótesis del continuo, a saber, que el cardinal del infinito de los números reales era el siguiente después del de los números naturales. De hecho, pensaba que había probado que era falsa, pero al día siguiente encontró su error. Nuevamente, pensó haber demostrado que era cierta, para rápidamente volver a encontrar un error.

Nada iba bien, en varias formas, pues en 1885 Mittag-Leffler persuadió a Cantor a retirar uno de sus artículos de la Acta Mathematica cuando estaba en la etapa de pruebas, porque pensaba que "... estaba adelantado unos cien años ". Cantor se burlaba de ello, pero claramente estaba lastimado:

¡De haberle hecho caso a Mittag-Leffler, debería haber esperado hasta el año 1984, lo que me pareció una demanda excesiva! ... Pero, por supuesto, no quiero volver a saber nada de Acta Mathematica.

Mittag-Leffler quiso tomar esto como una amabilidad, pero mjuestra una falta de aprecio por el trabajo de Cantor. La correspondencia entre Mittag-Leffler y Cantor cesó poco después de este evento y el flujo de nuevas ideas que había llevado a Cantor a su rápido desarrollo de la teoría de conjuntos a lo largo de doce años parecía haber cesado prácticamente también.

En 1886 Cantor compró una bella casa nueva en Händelstrasse, una calle llamada así en honor al compositor alemán Georg Friedrich Haendel. Antes del fin de ese año nació un hijo, con el que completó su familia a seis niños. Viró del desarrollo de la teoría de conjuntos hacia dos nuevas direcciones, discutiendo primeramente con muchos filósofos los aspectos filosóficos de su teoría (publicó estas cartas en 1888) y después de la muerte de Clebsch adoptando su idea de fundar la Deutsche Mathematiker-Vereinigung (Asociación Alemana de Matemáticos) lo que logró en 1890. Cantor presidio la primera reunión de la Asociación en Halle en septiembre de 1891 y, a pesar de su amargo antagonismo con Kronecker, Cantor lo invitó a dictar una conferencia en la primera reunión.

Sin embargo, Kronecker nunca habló en la reunión, pues su esposa se lastimó seriamente en un accidente de montañismo a finales del verano y murió poco después. Cantor resultó electo presidente de la Deutsche Mathematiker-Vereinigung en la primera reunion, puesto que mantuvo hasta 1893. Ayudó a organizar la reunión de la Asociación en Múnich en 1893, pero volvió a caer enfermo antes de la reunión y no pudo asistir.

Cantor publicó un artículo bastante extraño en 1894, que ponía una lista de cómo escribir todos los números pares, hasta el 1 000, como la suma de dos primos. Ya que la conjetura de Goldbach ya había sido verificada hasta el 10 000 desde hacía 40 años, es más probable que este artículo diga más del estado mental de Cantor que de la misma conjetura de Goldbach.

Sus últimos artículos importantes sobre la teoría de conjuntos aparecieron en 1895 y 1897, de nuevo en los Mathematische Annalen editados ahora por Klein, y son bellos recuentos de aritmética transfinita. El relativamente largo período entre los dos artículos se debe al hecho de que aunque Cantor terminó de escribir la segunda parte seis meses después de publicar la primera, esperaba poder incluir una prueba de la hipótesis del continuo en la segunda parte. Sin embargo, no tenía que ser, pero el segundo artículo describe su teoría de conjuntos bien ordenados y números ordinales.

En 1897 Cantor asistió al primer Congreso Internacional de Matemáticos en Zúrich. En sus conferencias en el Congreso:

... Hurwitz expresó abiertamente su gran admiración por Cantor y lo proclamó como alguien gracias al cual la teoría de funciones se había visto enriquecida. Jacques Hadamard expresó su opinión de que las nociones de la teoría de los conjuntos eran instrumentos conocidos e indispensables.

En el congreso, Cantor se encontró con Dedekind y reanudaron su amistad. Al momento del congreso, sin embargo, Cantor había descubierto la primera de las paradojas en la teoría de conjuntos. Descubrió las paradojas mientras trabajaba en sus artículos de revisión de 1895 y 1897, y le escribió a Hilbert en 1896 explicándole la paradoja. Burali-Forti descubrió la paradoja independientemente y la publicó en 1897. Cantor empezó correspondencia con Dedekind para tratar de entender cómo resolver los problemas, pero ataques recurrentes de su enfermedad mental lo obligaron a dejar de escribirle a Dedekind en 1899.

Cada vez que Cantor sufría de períodos de depresión, tendía a alejarse de las matemáticas y a voltear hacia la filosofía y a su gran interés literario, pues creía que había sido Francis Bacon quien escribió las obras de Shakespeare. Por ejemplo, durante su enfermedad de 1884 había solicitado que se le permitiera impartir clase de filosofía en lugar de matemáticas y había empezado su intenso estudio de la literatura isabelina intentando, con ellos, demostrar su teoría de Bacon-Shakespeare. Empezó a publicar panfletos sobre las cuestiones literarias en 1896 y 1897. La muerte de su madre en octubre de 1896 y la de su hermano menor en 1899 impusieron más presión sobre Cantor.

En octubre de 1899 Cantor solicitó y obtuvo un permiso para ausentarse de la docencia durante el semestre de invierno de 1899-1900. Después, el 16 de diciembre de 1899, murió el menor de sus hijos. Desde este momento y hasta el final de sus días luchó contra su enfermedad mental de depresión. Continuó enseñando, pero tuvo que ausentarse de la docencia varios semstres de invierno, los de 1902-03, 1904-05 y 1907-08. Cantor pasó algunas temporadas en sanatorios, cuando sufrió los peores ataques de su enfermedad, de 1899 en adelante. Continuó trabajando y publicando sobre su teoría de Bacon-Shakespeare y ciertamente no abandonó las matemáticas completamente. Dio conferencias sobre las paradojas de la teoría de los conjuntos en una reunión de laDeutsche Mathematiker-Vereinigung en septiembre de 1903 y asistió al Congreso Internacional de Matemáticos en Heidelberg, en agosto de 1904.

En 1905 Cantor escribió una obra religiosa después de retornar a casa después de una estancia en el hospital. Sostuvo correspondencia con Jourdain sobre la historia de la teoría de conjuntos y sus tendencias religiosas. Después de ausentarse de sus labores académicas durante casi todo el año 1909 por causa de su endeble salud, asumió sus obligaciones para con la universidad durante 1910 y 1911. Fue en ese año que se sintió muy feliz de recibir una invitación de la Universidad de St Andrews en Escocia para asistir como académico distinguido a las celebraciones por el 500° aniversario de la fundación la Universidad. Éstas tuvieron lugar del 12 al 15 de septiembre de 1911 pero:

Durante la visita. Aparentemente empezó a comportarse de manera excéntrica, hablando en exceso sobre la cuestión de Bacon-Shakespeare; entonces viajó a Londres por unos cuantos días.

Cantor había esperado encontrarse con Russell que acababa de publicar los Principia Mathematica. Sin embargo, su enfermedad y las noticias de que su hijo había caído enfermo lo hicieron regresar a Alemania sin ver a Russell. Al año siguiente, Cantor recibió el doctorado honoris causa en leyes de la Universidad de St Andrews, pero se encontraba demasiado enfermo para recibir el grado personalmente.

Cantor se retiró en 1913 y pasó sus últimos años enfermo y con poco alimento por causa de la Guerra en Alemania. Un importante encuentro planeado en Halle para celebrar los setenta años de Cantor en 1915 tuvo que cancelarse por causa de la guerra, pero una celebración más pequeña se llevó a cabo en su casa. En junio de 1917 entró a un sanatorio por última vez, y continuamente le escribía a su esposa, pidiéndole que se le permitiera regresar a casa. Murió de un ataque al corazón.

Hilbert describió la obra de Cantor como:

...el producto más bello del genio matemático y uno de los logros supremos de la actividad humana puramente intelectual.

Basado en un artículo de J. J. O'Connor y E. F. Robertson

Clavius, Christopher.Nació el 25 de marzo de 1538 en Bamberg, (ahora Alemania), y murió el 2 de febrero de 1612, en Roma, (ahora Italia).  Ingresó a la Orden Jesuita en 1555 y recibió su educación en el seno de la Orden. Asistió a la Universidad de Coimbra en Portugal. Después fue a Italia y estudió teología en el Colegio Romano Jesuita en Roma.

Ahí permaneció enseñando matemáticas. En efecto, salvo por un lapso en Nápoles alrededor de 1596 y una visita a España en 1597, Clavius se mantuvo como Profesor de Matemáticas en el Colegio Romano por el resto de su vida.

La regla juliana del año bisiesto creaba un exceso de tres bisiestos cada 385 años, que tenían el efecto de ir moviendo las fechas en que en realidad ocurrían los equinoccios y los solsticios. Clavius propuso que el miércoles 4 de octubre de 1582 (juliano) fuera seguido por el jueves 15 de octubre de 1582 (gregoriano). También propuso que los años bisiestos ocurrieran en años exactamente divisibles entre cuatro, excepto por los que siendo divisibles entre 100 no lo sean entre 400. Esta regla sigue siendo hoy por hoy tan precisa que no se ha de requerir una reforma del calendario durante varios siglos.

A Viète le disgustó el calendario de Clavius y la gente de Frankfurt se rebeló contra el Papa y los matemáticos que según ellos les habían robado 10 días. Entonces escribió Clavius su Novi calendarii romani apologia (1595) para justificar las nuevas reformas del calendario y defenderlas de este tipo de ataques.

Aunque Clavius produjo pocos resultados matemáticos propios, hizo mucho más que cualesquiera otros matemáticos alemanes del siglo dieciséis para promover el conocimiento de las matemáticas. Sin embargo, fue él el primero en hacer uso del punto decimal.

Clavius fue un talentoso maestro y un escritor de libros de texto. Produjo una versión de los Elementos de Euclides en 1574 que contiene ideas propias. Otro libro muy bien escrito fue Álgebra(1608). Sus libros de aritmética fueron utilizados por muchos matemáticos, incluidos Leibniz y Descartes.

Clavius inventó y fabricó varios instrumentos. Laboró en uno para medir fracciones de ángulos.  También diseñó relojes solares y diseñó un cuadrante para uso en agrimensura.

Basado en un artículo de J. J. O'Connor y E. F. Robertson

Donaldson, Simon Kirwan. Nació el 20 de agosto de 1957 en Cambridge, Inglaterra. Su educación secundaria la recibió en la Escuela Sevenoaks en Kent entre 1970 y 1975. Ingresó en el Pembroke College de Cambridge donde estudió hasta 1980; la licenciatura la obtuvo en 1979. Uno de sus tutores en Cambridge lo describió como un buen estudiante, pero ciertamente no el mejor en su generación. Aparentemente llegaba siempre a sus clases trayendo consigo un estuche de violín.

En 1980 Donaldson comenzó su posgrado en el Worcester College de Oxford, primero bajo la asesoría de Nigel Hitchin y después bajo la de Atiyah, quien escribe[4]:

En 1982, cuando estaba en su segundo año del posgrado, Simon Donaldson probó un resultado que asombró al mundo matemático.

Donaldson publicó este resultado en su artículo Self-dual connections and the topology of smooth 4-manifolds que apareció en el Bulletin of the American Mathematical Society en 1983. Atiyahcontinúa con la descripción de la obra de Donaldson:

Junto con la importante obra de Michael Freedman..., el resultado de Donaldson implicó que hay espacios euclidianos de dimensión 4 “exóticos”, es decir, variedades diferenciables de dimensión 4 que son topológica, mas no diferenciablemente, equivalentes al espacio euclidiano de dimensión 4 estándar R⁴. Lo que hace a este resultado tan sorprendente es que n = 4 es el único valor para el que tales espacios de dimensión n existen. Estos espacios euclidianos exóticos de dimensión 4 tienen la notable propiedad (a diferencia de R⁴) de que contienen conjuntos compactos que no están contenidos dentro de ninguna esfera de dimensión 3 encajada diferenciablemente.

Después de obtener su doctorado de Oxford en 1983, Donaldson fue nombrado Junior Research Fellow en el All Souls College, Oxford. Entre 1983 y 1984 pasó un año académico en el Instituto para Estudios Avanzados de Princeton. A su regreso a Oxford fue nombrado Profesor Wallis de Matemáticas en 1985, puesto que aún conserva.

Donaldson ha recibido muchos reconocimientos por su trabajo, como el Premio Junior Whitehead de la Sociedad Matemática de Londres en 1985. Al año siguiente fue nombrado Fellow de la Real Sociedad y, también en 1986, recibió la Medalla Fields en el Congreso Internacional de Matemáticos en Berkeley. En 1991 Donaldson recibió el premio Sir William Hopkins de la Sociedad Filosófica de Cambridge. Al año siguiente la Medalla de la Real Sociedad. También recibió el Premio Crafoord de la Real Academia Sueca de Ciencias en 1994:

... por sus investigaciones fundamentales en geometría de cuatro dimensiones a través de la aplicación de instantones y, en particular, por su descubrimiento de nuevos invariantes diferenciales ...

Atiyah describe[5] la contribución que condujo a Donaldson a la obtención de la Medalla Fields. Resume la contribución de Donaldson:

Cuando Donaldson produjo sus primeros resultados sobre 4-variedades, las ideas eran tan nuevas y extrañas para los geómetras y los topólogos que éstos sólo las contemplaban con admiración y perplejidad. Poco a poco comenzó a penetrar el mensaje y ahora las ideas de Donaldson empiezan a ser utilizadas por otros en diferentes formas. ... Donaldson ha abierto un área completamente nueva; fenómenos inesperados y misteriosos sobre la geometría de 4 dimensiones han sido descubiertos. Además, los métodos son nuevos y altamente sutiles, que utilizan difíciles ecuaciones diferenciales parciales no lineales. Por otro lado, su teoría se finca sobre las principales corrientes de las matemáticas, ya que tiene íntimos lazos con el pasado, al incorporar ideas de la física teórica y ligarlas con la geometría algebraica de una manera muy bella.

R. Stern resume la obra de Donaldson[6]:

En 1982 Simon Donaldson comenzó un rico viaje geométrico que nos conduce a un emocionante fin de este siglo. Ha creado toda una nueva y estimulante área de investigación a través de la cual pasa una buena parte de las matemáticas y que continúa mostrando misteriosos e inesperados fenómenos sobre la topología y la geometría de las 4-variedades lisas.

Basado en un artículo de J. J. O'Connor y E. F. Robertson

Euler, Leonhard.  Nació el 15 de abril de 1707 en Basilea, Suiza, y murió el 18 de septiembre de 1783 en San Petersburgo, Rusia. Cuando cumplió un año, la familia Euler se mudó a Riehen, en donde Leonhard creció. De su padre, que sabía algo de matemáticas, adquirió sus primeros conocimientos en esta ciencia y otros temas.

Fue a la escuela en Basilea, en donde vivía al lado de su abuela materna. Ya su interés por las matemáticas había despertado gracias a su padre y ya prácticamente no aprendió las matemáticas escolares, pues prefería leer textos por su cuenta y tomaba clases particulares. Su padre, que era ministro protestante, quería que Leonhard se preparara también para el ministerio y lo envió a la Universidad de Basilea, donde ingresó en 1720, a los 13 años. Fue Johann Bernoulli quien descubrió el gran talento matemático de Euler. En sus notas autobiográficas[7] escribió Euler:

... pronto tuve la ocasión de conocer al famoso profesor Johann Bernoulli. ... Realmente estaba muy ocupado y rechazó darme lecciones privadas.  Pero me dio valiosos consejos para comenzar a leer por mi cuenta libros de matemáticas más difíciles y estudiarlos tan diligentemente como me fuera posible.  Al toparme con dificultades me permitía visitarlo los domingos por la tarde y amablemente me explicaba cualquier cosa que no hubiese yo entendido ...

En 1723 Euler obtuvo su maestría en filosofía haciendo una comparación de las ideas filosóficas de Descartes y Newton. Según los deseos de su padre comenzó a estudiar teología en el otoño de 1723. A pesar de ser un cristiano devoto durante toda su vida, no tuvo interés en esos estudios y su padre le autorizó cambiarse a estudiar matemáticas. Fue gracias al apoyo de Johann Bernoulli, quien había tenido amistad con el padre de Euler durante sus años en la universidad, que éste aceptó el cambio.  Euler terminó sus estudios en la Universidad de Basilea en 1726. Ese mismo año Euler ya tenía un artículo en prensa, que trataba sobre curvas isócronas en un medio resistente. En 1727 publicó otro artículo sobre trayectorias recíprocas y sometió un trabajo para el Grand Prix de 1727 de la Academia de París sobre la mejor distribución de mástiles en un barco, por el que obtuvo el segundo lugar.

Euler obtuvo una posición académica en San Petersburgo al morir Nicolaus (II) Bernoulli en julio de 1726, quien dejó libre una cátedra que lo involucró en la enseñanza de las aplicaciones de las matemáticas y la mecánica a la fisiología. Su puesto entró en vigor en noviembre de 1726, pero esperó hasta la siguiente primavera para viajar a Rusia, pues, por un lado, deseaba estudiar los temas de su cátedra y, por el otro, deseaba ver sus posibilidades en Basilea, pues el profesor de física de la universidad había muerto. Para defender su solicitud de la cátedra, Euler escribió un artículo sobre acústica que se convirtió en un clásico, pero no la obtuvo. Su juventud no lo ayudaba –tenía 19 años–. Sin embargo, Calinger[8] reflexiona:

Esta decisión resultó, a fin de cuentas, benéfica para Euler, pues lo obligó a mudarse de una pequeña república a un ambiente más adecuado para su brillante investigación y trabajo tecnológico.     

Su viaje, en barco por el Rin, en diligencia por el norte de Alemania y por barco desde Lübeck hasta San Petersburgo, donde llegó el 17 de mayo de 1727, duró 42 días. A los dos años de estar en Rusia fue elegido miembro de la Academia de Ciencias de San Petersburgo, fundada por Catalina I, esposa del Zar Pedro el Grande. A solicitud de Daniel Bernoulli y de Jakob Hermann, Euler fue asignado a la división de físico-matemáticas de la academia, en vez del puesto de fisiología que había tenido al principio.

Euler sirvió a la marina rusa como teniente médico entre 1727 y 1730. En San Petersburgo vivía con Daniel Bernoulli. Euler se hizo profesor de física de la academia y gracias a ello pudo dejar su cargo en la marina rusa.

Al abandonar San Petersburgo Daniel Bernoulli en 1733, Euler se quedó con este puesto de profesor titular. Su mejora económica le permitió casarse el 7 de enero de 1734 con Katharina Gsell, quien, al igual que Euler, era de familia suiza. Tuvieron 13 hijos, pero sólo cinco sobrevivieron su infancia. Euler decía que hizo varios de sus más grandes descubrimientos matemáticos con un bebé en sus brazos y otros niños jugando alrededor de sus pies.

La publicación de muchos artículos y de su libro Mechanica (1736-37), que presentaba ampliamente la mecánica newtoniana por primera vez en términos de análisis matemático, puso a Euler en la vía de una importante obra.

En 1735 comenzó Euler con sus padecimientos físicos y una fiebre lo puso al borde de la tumba. En sus escritos autobiográficos afirma que sus problemas de visión empezaron en 1738 debidos a su trabajo cartográfico en 1740, en el que forzaba mucho la vista; él mismo escribió que

... perdí un ojo y [el otro] seguramente corre el mismo riesgo.  

Hacia 1740 la reputación de Euler creció después de haber finalmente obtenido el Grand Prix de la Academia de París en 1738 y en 1740.  Eso le valió un llamado a Berlín, que al principió rechazó y prefirió permanecer en San Petersburgo. Sin embargo, las revueltas políticas en Rusia dificultaron su estancia y cambió de opinión. Por invitación de Federico el Grande se fue a Berlín, donde a partir de la antigua Sociedad de Ciencias se estaba fundando la Academia de Ciencias. Llegó a Berlín el 25 de julio.  Le escribió a un amigo:

Puedo hacer lo que quiero [en mi investigación] ... El rey me llama su profesor y creo que soy el hombre más feliz del mundo.

Bajo la presidencia de Maupertuis se fundó la Academia de Berlín y se designó a Euler director de matemáticas.

Durante su estancia de veinticinco años en Berlín, Euler escribió alrededor de 380 artículos, libros sobre cálculo de variaciones, sobre órbitas planetarias, sobre artillería y balística, sobre análisis, sobre las artes de la construcción de barcos y navegación, sobre el movimiento de la luna, sobre cálculo diferencial, así como un texto de divulgación intitulado Cartas a una Princesa de Alemania (3 Vols., 1768-72).

A la muerte de Maupertuis en 1759 Euler asumió el liderazgo de la Academia de Berlín, aunque no el título de presidente, pues su relación con Federico ya no se encontraba en buenos términos.  Después de algunas diferencias en cuestiones académicas con d'Alembert se sintió molesto de que Federico le hubiese ofrecido a éste la presidencia de la Academia en 1763. Sin embargod'Alembert no aceptó irse a Berlín, pero Federico siguió interfiriendo en el manejo de la Academia he hizo que Euler decidiera que ya era tiempo de abandonar Berlín.

En 1766 Euler retornó a San Petersburgo y Federico se disgustó muchísimo por su partida. Al poco de regresar a Rusia la ceguera de Euler fue prácticamente total. En 1771 su casa se incendió y apenas se salvó el y sus manuscritos matemáticos. Una operación de cataratas poco después del incendio, en 1771, le devolvió la vista por unos días pero no tuvo los cuidados necesarios y al poco tiempo sufrió de ceguera total. Gracias a su extraordinaria memoria pudo continuar con su trabajo en óptica, álgebra y movimiento lunar. Asombrosamente a su regreso a San Petersburgo (a los 59 años de edad) produjo casi la mitad de toda su obra a pesar de su ceguera.

Por supuesto, Euler no alcanzó este notable nivel de conocimientos sin ayuda.  Tuvo el apoyo de sus hijos, Johann Albrecht Euler, quien fue elegido para la cátedra de física de la Academia en San Petersburgo en 1766 (de la cual fue su secretario en 1769) y de Christoph Euler, quien hizo una carrera militar. Euler también recibió la ayuda de otros dos miembros de la Academia, W. L. Krafft y A. J. Lexell, y del joven matemático N. Fuss, quien fue invitado a la Academia desde Suiza en 1772. Fuss, quien era nieto político de Euler, se convirtió en su asistente en 1776. Yushkevichescribe[9]:

...los científicos que apoyaron a Euler no eran meros secretarios; él discutía el esquema general de sus trabajos con ellos y ellos desarrollaban sus ideas, calculando tablas y algunas veces compilando ejemplos.

Por ejemplo, Euler da crédito a Albrecht, Krafft y Lexell por su ayuda con su obra de 775 páginas sobre el movimiento de la luna, publicada en 1772. Fuss ayudó a Euler a preparar más de 250 artículos para publicación durante un período de unos siete años en los cuales fungió como asistente de Euler; éstos incluían un importante trabajo sobre seguros, que fue publicado en 1776.

Yushkevich describe el día del fallecimiento de Euler:

El 18 de septiembre de 1783 Euler pasó la mitad del día como era su costumbre. Dio una lección de matemáticas a uno de sus nietos, hizo algunos cálculos con gis en dos pizarras acerca del movimiento de los globos, después discutió con Lexell y Fuss acerca del recientemente descubierto planeta Urano. Cerca de las cinco de la tarde sufrió una hemorragia cerebral y apenas alcanzó a pronunciar “me estoy muriendo” antes de perder la conciencia. Murió como a las once de la noche.

Después de su muerte en 1783 la Academia de San Petersburgo continuó publicando la obra inédita de Euler por alrededor de 50 años más.

La obra matemática de Euler es tan vasta que en una nota como ésta no se puede dar más que una vaga idea de ella. Euler fue el escritor de matemáticas más prolífico de todos los tiempos. Sus contribuciones dentro de estudio de la geometría analítica y la trigonometría modernas son enormes. Él fue el primero en considerar las funciones trigonométricas seno, coseno, etcétera, más como funciones que meramente como cuerdas, como lo hiciera Ptolomeo.

Hizo decisivas y formativas contribuciones a la geometría, el cálculo y la teoría de los números. Integró el cálculo diferencial de Leibniz y el método de las fluxiones de Newton al análisis matemático. Introdujo las funciones beta y gama para las ecuaciones diferenciales. Estudió la mecánica del continuo, la teoría lunar con Clairaut, el problema de tres cuerpos, elasticidad, acústica, la teoría ondulatoria de la luz, hidráulica y música. Sentó las bases de la mecánica analítica, especialmente en su Teoría de los Movimientos de los Cuerpos Rígidos (1765).

Debemos a Euler la notación f(x) para una función (1734), e para la base de los logaritmos naturales (1727), i para la raíz cuadrada de –1 (1777), π para el número pi, Σ para la sumatoria (1755), la notación para las diferencias finitas Δy and Δ²y y muchas más.

Entre los resultados de Euler sobre teoría de números está su demostración del Último Teorema de Fermat para el caso n = 3. Quizás más significativo que el mero resultado fue el hecho de haber presentado una prueba que involucraba números de la forma    para enteros a y b. Aunque había problemas con su enfoque, éste condujo a la larga al fundamental trabajo de Kummer sobre el Último Teorema de Fermat y a la introducción del concepto algebraico de anillo.

Puede afirmarse que el análisis matemático tuvo su inicio con Euler. En 1748 en Introductio en analysin infinitorum Euler precisó ideas de Johann Bernoulli para definir una función, y afirmó que el análisis matemático era el estudio de las funciones. Este trabajo basa el cálculo en la teoría de funciones elementales, más que en curvas geométricas, como había sido enfocado previamente. También dio Euler en este trabajo la fórmula

e^ix = cos x + i sin x.

En Introductio en analysin infinitorum Euler trató con logaritmos de una variable positiva, aunque ya antes había descubierto la fórmula

ln(–1) = πi

en 1727. Publicó su teoría completa de los logaritmos de los números complejos en 1751.

Descubrió las ecuaciones de Cauchy-Riemann en 1777, aunque d'Alembert ya las había descubierto en 1752 mientras investigaba sobre hidrodinámica.

En 1755 Euler publicó Institutiones calculi differentialis que comienza con un estudio del cálculo de diferencias finitas. La obra hace una investigación detallada de cómo se comporta la diferenciación con respecto a substituciones.

El cálculo de variaciones es otra área en la cual hizo Euler descubrimientos fundamentales. Su obra Methodus inveniendi lineas curvas ... publicado en 1740 inició propiamente el estudio del cálculo de variaciones. Carathéodory consideró esto como[10]:

... una de las más hermosas obras matemáticas jamás escritas.

Euler también hizo contribuciones sustanciales a la geometría diferencial, donde investiga la teoría de superficies y su curvatura. Muchos resultados no publicados de Euler en esta área fueron redescubiertos por Gauss. Otras investigaciones geométricas lo condujeron a ideas fundamentales en topología, tales como la característica de Euler de un poliedro.

En 1736 publicó Euler Mechanica que proporcionó un avance sustancial en mecánica. Como afirma Yushkevich[11]:

Lo que distingue a las investigaciones de Euler en mecánica de las de sus predecesores es la aplicación sistemática y exitosa del análisis. Previamente, los métodos de la mecánica habían sido en su mayor parte sintéticos y geométricos; exigían un enfoque demasiado individual para separar problemas. Euler fue el primero en apreciar la importancia de introducir métodos analíticos uniformes a la mecánica, haciendo que sus problemas pudieran resolverse en una forma clara y directa.

En Mechanica consideró Euler el movimiento de una masa puntual tanto en el vacío como en un medio resistente. Analizó el movimiento de una masa puntual bajo una fuerza central y también consideró el movimiento de una masa puntual en una superficie. En este último tema, tuvo que resolver varios problemas de geometría diferencial y geodésicas.

Euler también publicó sobre la teoría musical, en particular, publicó Tentamen novae theoriae musicae en 1739, en el cual trató de hacer música:

... partir de las matemáticas y deducir de una manera ordenada, a partir de principios correctos, todo aquello que puede hacer agradable el combinar y mezclar tonos.

Sin embargo, la obra era[12]:

... demasiado avanzada en sus matemáticas para los músicos y demasiado musical para los matemáticos.

La cartografía fue otra área en la que Euler se interesó cuando fue designado director de la sección de geografía de la Academia de San Petersburgo en 1735. Tenía la tarea específica de apoyar a Delisle para preparar un mapa de todo el Imperio Ruso. El Atlas Ruso fue el resultado de esta colaboración y apareció en 1745 consistente de 20 mapas. Euler, en Berlín, señaló orgullosamente al momento de su publicación, que esta obra puso a los rusos en una posición mucho más avanzada que la de los alemanes en el arte de la cartografía.

Basado en un artículo de J. J. O'Connor y E. F. Robertson

Fermat, Pierre de.Nació el 17 de agosto de 1601 en Beaumont-de-Lomagne, Francia, y murió el 12 de enero de 1665, en Castres, Francia.  Su padre era un rico mercader del cuero y segundo cónsul de Beaumont-de-Lomagne. Pierre tenía un hermano y dos hermanas y prácticamente creció en su ciudad natal. Aunque hay poca evidencia en cuanto a su educación escolar, debió de haber ocurrido en el monasterio franciscano local.

Asistió a la Universidad de Toulouse antes de mudarse a Burdeos en la segunda mitad de la década de 1620. En Burdeos comenzó sus investigaciones matemáticas serias y en 1629 dio una copia de su restauración del Lugares Geométricos Planos de Apolonio a uno de los matemáticos ahí. En Burdeos estaba en comunicación con Beaugrand y durante este tiempo produjo importantes trabajos sobre máximos y mínimos que entregó a Etienne d'Espagnet quien claramente compartía con Fermat sus intereses matemáticos.

De Burdeos, Fermat fue a Orleáns, donde estudió derecho en la Universidad. Recibió un grado en derecho civil y compró las oficinas de concejal en el parlamento de Toulouse. Así, en 1631 Fermat era abogado y oficial de gobierno en Toulouse y debido al oficio que ostentaba, adquirió el derecho a cambiar su nombre de Pierre Fermat a Pierre de Fermat.

Durante el resto de su vida vivió en Toulouse pero así como trabajaba ahí, también lo hacía en su ciudad natal de Beaumont-de-Lomagne y en el pueblo cercano de Castres. A partir de su designación el 14 de mayo de 1631 Fermat laboró en la cámara baja del parlamento, pero el 16 de enero de 1638 fue asignado a una cámara más alta. Después, en 1652, fue promovido al más alto nivel en la corte penal. Posteriores promociones parecen indicar un carrera meteórica a través de su profesión, pero la promoción tuvo lugar fundamentalmente en su edad madura cuando la plaga golpeó la región al principio de la década de 1650 por lo que muchas personas de edad avanzada fallecieron. El mismo Fermat cayó enfermo por la plaga y en 1653 su muerte fue erróneamente anunciada, y después corregida:

Informé anteriormente la muerte de Fermat. Él vive y ya no tememos por su salud, aun cuando hace poco tiempo lo habíamos contado entre los muertos.

El siguiente informe, dirigido a Colbert, la principal figura en Francia en aquella época, tenía un halo de verdad:

Fermat, un hombre de gran erudición, tenía comunicación con intelectuales de todas partes. Pero está bastante preocupado, no informa los casos bien y está confundido.

Por supuesto, Fermat estaba preocupado por las matemáticas. Mantenía su amistad matemática con Beaugrand después de mudarse a Toulouse pero ahí encontró una nueva amistad matemática en Carcavi. Fermat conoció a Carcavi en su calidad  profesional, ya que ambos eran concejales en Toulouse y compartían su amor por las matemáticas, y Fermat le contó a Carcavi acerca de sus descubrimientos matemáticos.

En 1636 Carcavi fue a París como bibliotecario real y estableció comunicación con Mersenne y su grupo. Las descripciones de los descubrimientos de Fermat sobre caída de cuerpos que le hizo Carcavi despertaron el interés de Mersenne y le escribió a Fermat. Éste respondió el 26 de abril de 1636 y, además de decirle a Mersenne acerca de errores que él pensaba que Galileo había cometido en su descripción de la caída libre; también le contó a  Mersenne sobre su trabajo acerca de espirales y su restauración del libro de Apolonio.

Es un tanto irónico que esta relación  inicial de Fermat con la comunidad científica surgiese a partir de su estudio de la caída libre, puesto que Fermat tenía poco interés en aplicaciones físicas de las matemáticas. Incluso con sus resultados sobre caída libre estaba más interesado en probar teoremas geométricos que en su relación con el mundo real. Esta primera carta contenía, sin embargo, dos problemas sobre máximos que había pedido a Mersenne que los distribuyera entre los matemáticos de París, lo cual mostraba el estilo típico de las cartas de Fermat, de querer desafiar a otros para encontrar resultados que él ya había obtenido.

Roberval y Mersenne encontraron los problemas de Fermat en ésta y en cartas subsecuentes sumamente difíciles y normalmente insolubles utilizando las técnicas usuales. Le pidieron divulgar sus métodos y Fermat envió Método para determinar Máximos y Mínimos y Tangentes a Líneas Curvas, su texto restaurado del mencionado clásico de Apolonio, y su enfoque algebraico de la geometría en Introducción a Lugares Geométricos Planos y Sólidos a los matemáticos de París.

Alcanzó rápidamente su reputación como uno de los más importantes matemáticos del mundo, pero sus intentos por publicar su obra fallaban, principalmente porque Fermat nunca quiso realmente poner su obra en una forma pulida. Sin embargo, algunos de sus métodos fueron publicados. Por ejemplo, Hérigone añadió a su obra fundamental Cursus matematicus un suplemento que contenía los métodos de Fermat sobre máximos y mínimos. La correspondencia cada vez más amplia entre Fermat y otros matemáticos no siempre obtuvo elogio universal. Frenicle de Bessy se sintió molesto con los problemas de Fermat, pues para él eran imposibles de resolverse. Le escribió muy disgustado a Fermat, pero aunque éste le dio más detalles en su respuesta, Frenicle de Bessy sintió que Fermat lo estaba hostigando.

Sin embargo, Fermat pronto se involucró en una controversia con un matemático de mayor talla que Frenicle de Bessy. Después de que Beaugrand le enviara una copia de La Dioptrique de Descartes, Fermat puso poca atención, ya que estaba en medio de una nutrida correspondencia con Roberval y Etienne Pascal sobre métodos de integración, y los estaba utilizando para hallar centros de gravedad. Mersenne le pidió que le diera una opinión sobre La Dioptrique a lo cual Fermat respondió describiéndola como

andar a tientas en las sombras.

Afirmó que Descartes no había deducido correctamente la ley de la refracción puesto que estaba ya implícita en sus hipótesis. Poco es decir que Descartes estaba disgustado. Descartes pronto encontró una buena razón para sentirse aun más enojado, puesto que percibió en la obra de Fermat sobre máximos, mínimos y tangentes una disminución de la importancia de su propia obra La Géométrie, de la que Descartes se sentía de lo más orgulloso y con la que trataba de mostrar lo que se podía obtener a partir de su Discours de la méthode.

Descartes atacó el método de máximos, mínimos y tangentes de Fermat. Roberval y Etienne Pascal se involucraron en la disputa, y posteriormente también lo hizo Desargues, a quien Descartes pidió que actuara como árbitro. Fermat probó que estaba en lo correcto y finalmente Descartes acabó por admitirlo y escribió:

... al ver el último método que utiliza para encontrar tangentes a líneas curvas, no puedo responder más que diciendo que es muy bueno y que, si lo hubiese usted explicado de esta manera desde el principio, no lo habría impugnado en lo más mínimo.

Pero esto no terminó con el asunto, puesto que Descartes trató de dañar la reputación de Fermat. Por ejemplo, aunque le escribió a Fermat elogiando su obra sobre la determinación de la tangente a una cicloide (que es, en efecto, correcta), Descartes le escribió a Mersenne afirmando que era incorrecta y diciendo que Fermat era incapaz como matemático y como pensador. Descartes era importante y respetado y logró así dañar severamente la reputación de Fermat.

Más que nada se le recuerda a Fermat por su obra en teoría de números y, en particular, por el Último Teorema de Fermat. Escribió en el margen de la traducción de Bachet de la Arithmetica de Diofanto:

He descubierto una prueba verdaderamente notable para la cual este margen es demasiado pequeño para albergarla.

Estas notas marginales se dieron a conocer cuando su hijo Samuel publicó una edición de la traducción de Bachet de la Arithmetica de Diofanto con todo y las notas de su padre en 1670.

La correspondencia de Fermat con los matemáticos de París se restableció en 1654, cuando Blaise Pascal, hijo de Etienne Pascal, le escribió para pedirle la confirmación acerca de sus ideas sobre probabilidad. Blaise Pascal sabía de Fermat por su padre, que había muerto tres años antes, y estaba bien al tanto de las sobresalientes capacidades matemáticas de Fermat. Su escasa correspondencia estableció la teoría de las probabilidades y por ello son ahora considerados  como cofundadores de esta materia. Sin embargo, al sentir su aislamiento y todavía queriendo adoptar su antiguo estilo de desafiar matemáticos, Fermat trató de cambiar su tema de estudio de la probabilidad a la teoría de los números. Pascal no tenía interés en eso, pero Fermat, sin darse cuenta de ello, le escribió a Carcavi diciendo:

Me agrada haber tenido opiniones convergentes con las de M. Pascal, pues siento una estimación infinita por su genialidad... ustedes dos pueden encargarse de esa publicación, de la cual apruebo que ustedes sean los editores, pueden aclarar o complementar lo que les parezca demasiado conciso y relevarme de una carga que mis obligaciones impiden que asuma yo.

Sin embargo, Pascal ciertamente no iba a editar la obra de Fermat, así que después de este destello de deseos de ver su obra publicada, Fermat abandonó la idea. Entonces continuó con mayor ímpetu que antes con sus desafiantes problemas, y planteó como insolubles dos problemas matemáticos a colegas franceses, ingleses, holandeses y de toda Europa.

Sus problemas no llamaron mayormente la atención, pues parecía que casi todos los matemáticos pensaban que la teoría de los números no era un tema importante. Sin embargo, el segundo de estos dos problemas; a saber, encontrar todas las soluciones de  Nx² + 1 = y² para N que no sea un cuadrado, fue resuelto por Wallis y Brouncker y desarrollaron fracciones continuas en su solución.

Fermat planteó otros problemas; a saber, que la suma de dos cubos no puede ser un cubo (un caso especial del Último Teorema de Fermat que indicaría que a esa fecha Fermat se habría percatado de que su prueba del caso general era incorrecta); que hay exactamente dos soluciones enteras de x² + 4 = y³; y que la ecuación x² + 2 = y³ tiene sólo una solución entera. Planteó problemas directamente a los ingleses. Nadie parecía darse cuenta de que Fermat esperaba que sus problemas específicos llevarían a  descubrir, como él lo había hecho, resultados teóricos más profundos.

Por estas fechas uno de los estudiantes de Descartes recolectaba su correspondencia para publicarla, y se dirigió a Fermat para pedirle que lo asistiera con la correspondencia Fermat–Descartes. Esto llevó a Fermat a mirar nuevamente los argumentos que había utilizado veinte años atrás y recapacitó sobre sus objeciones a la óptica de Descartes. En particular, había estado descontento con la descripción que daba Descartes de la refracción de la luz, y ahora estableció un principio que de hecho establece la ley de los senos para la refracción, que Snell y Descartes habían propuesto. Sin embargo, Fermat la había deducido ahora de una propiedad fundamental que él mismo propuso, a saber, que la luz siempre sigue la trayectoria más rápida posible (braquistocrona). El principio de Fermat, ahora una de las propiedades más básicas de la óptica, no encontró apoyo entre los matemáticos de entonces.

En 1656 Fermat había comenzado a intercambiar correspondencia con Huygens. Esto hizo crecer el interés de Huygens en la probabilidad y la correspondencia fue pronto manipulada por Fermat hacia temas de teoría de números. Este tema no fue del interés de Huygens, pero Fermat trató insistentemente y en su Nuevo Recuento sobre Descubrimientos en la Ciencia de los Números,enviado a Huygens a través de Carcavi en 1659, le reveló más de sus métodos de lo que había revelado a otros.

Fermat describió su método de descenso finito y dio un ejemplo de cómo utilizarlo para probar que todo número primo de la forma 4k + 1 podía escribirse como suma de dos cuadrados. Ya que si se supone que hubiese algún número de la forma 4k + 1 que no puede ser escrito como suma de dos cuadrados, entonces hay un número más pequeño nuevamente de la forma 4k + 1 que no se puede escribir como suma de dos cuadrados. Continuando el argumento llevaría a una contradicción. Lo que Fermat no pudo explicar en esta carta es cómo construir el número más pequeño a partir del mayor. Se supone que Fermat sabía como efectuar este paso, pero nuevamente su error de no divulgar el método hizo que los matemáticos perdieran interés. No fue hasta que Euler se interesó en estos problemas que los pasos faltantes se establecieron.

Fermat puede describirse como[13]:

Reservado y taciturno, no le gustaba hablar de sí mismo y estaba poco dispuesto a revelar demasiado sobre su pensamiento. ... Sus ideas por originales y novedosas que fueran, abarcaban una gama de posibilidades limitadas por su época [1600-1650] y su lugar [Francia].

Carl B. Boyer[14] dice:

El reconocimiento del significado de la obra de Fermat en análisis fue tardío, en parte debido a que se apegaba a un sistema de símbolos matemáticos diseñado por François Viète, notaciones que ya Descartes en su Geométrie había declarado hacía mucho como obsoletas. La desventaja impuesta por las notaciones impropias ocasionaron poco daño en el campo favorito de estudio de Fermat, la teoría de números, pero aquí, desafortunadamente, no encontró ningún socio de correspondencia que compartiese su entusiasmo.

Basado en un artículo de J. J. O'Connor y E. F. Robertson

Fibonacci, Leonardo da Pisa. Nació en 1170 probablemente en Pisa (ahora Italia) y murió en 1250 posiblemente también en Pisa. Leonardo Pisano es mejor conocido por su sobrenombreFibonacci (figlio di Bonacci, es decir, hijo de Bonacci). Fue hijo de Guilielmo y miembro de la familia Bonacci. Fibonacci mismo utilizaba a veces el nombre Bigollo, que bien podría significar bueno-para-nada o un viajero. No es claro si sus paisanos querían expresar con este epíteto su desdén por un hombre que se ocupaba de cuestiones sin valor práctico, o más bien significaba la palabra en el dialecto toscano un hombre que solía viajar mucho, cosa que él, en efecto, hacía[15].

Fibonacci nació en Italia pero se educó en el norte de África donde su padre, Guilielmo, ocupaba un cargo diplomático, que consistía en representar a los mercaderes de la República de Pisa que comerciaban con Bugia, ahora llamada Bejaia, un puerto mediterráneo en el nordeste de Argelia. El pueblo se encuentra en la desembocadura del Wadi Soummam cerca del Monte Gouraya y el Cabo Carbón. Fibonacci aprendió matemáticas en Bugia y viajó profusamente con su padre, reconociendo las enormes ventajas de los sistemas matemáticos utilizados en los países que visitaban. Fibonacci escribe en su famoso libro Liber abaci (1202):

Cuando mi padre, quien había sido nombrado por su país notario público en Bugia para trabajar para los mercaderes pisanos que iban allí, ocupaba su cargo, me llamó aún siendo niño para ir con él, y al tener yo un buen ojo para la inutilidad y la conveniencia futura, quiso que me quedara y recibiera instrucción en la escuela de contaduría. Ahí, cuando brillantemente me enseñaron el arte de los nueve símbolos de los indios, el conocimiento de este arte muy pronto me complació más que cualquier otra cosa y logré comprenderlo para todo aquello que era estudiado por este arte en Egipto, Siria, Grecia, Sicilia y Provenza, en todas sus variantes.

Fibonacci dejó de viajar hacia el año 1200 cuando regresó a Pisa. Ahí escribió varios importantes textos que jugaron un papel importante para revivir antiguas habilidades matemáticas e hizo significativas contribuciones propias. Fibonacci vivió antes de que hubiera imprenta, de modo que sus libros eran manuscritos y la única forma de obtener la copia de uno era copiándolo a mano.  De sus libros aún hay copias de Liber abaci (1202), Practica geometriae (1220), Flos (1225) y Liber quadratorum. Dado que relativamente pocas copias manuscritas pudieron ser producidas, somos hoy afortunados de poder tener acceso a lo que escribió. Sabemos, sin embargo, que escribió algunos otros textos, que desafortunadamente están perdidos. Su libro sobre aritmética comercial Di minor guisa se perdió, así como también su comentario sobre el Libro X, Elementos, de Euclides, que contenía un tratamiento de los números irracionales que Euclides había enfocado desde un punto de vista geométrico.

Podría pensarse que en una época en la que en Europa había poco interés en cuestiones intelectuales, Fibonacci habría sido totalmente ignorado. Éste no era, sin embargo, el caso, y un amplio interés en su trabajo sin duda alguna contribuyó fuertemente a su importancia. Fibonacci fue contemporáneo de Jordanus, aunque aquél era un matemático mucho más sofisticado y sus logros eran claramente reconocidos, aunque eran las aplicaciones prácticas más que los teoremas abstractos las que lo hicieron famoso entre sus contemporáneos.

El emperador del Sacro Imperio Romano era Federico II.  Había sido coronado Rey de Alemania en 1212 y después coronado Sacro Emperador Romano por el Papa en la Basílica de San Pedro en Roma en noviembre de 1220. Federico II apoyaba a Pisa en sus conflictos con Génova en el mar y con Lucca y Florencia en tierra, y pasó los años hasta 1227 consolidando su poderío en Italia. El control de estado fue introducido en el comercio y la manufactura, y se formaron servidores públicos en la Universidad de Nápoles para supervisar estas actividades.  Ésta fue fundada por Federico en 1224 precisamente para este fin.

Federico pronto supo de la obra de Fibonacci gracias a eruditos de su corte que mantenían correspondencia con Fibonacci desde su regreso a Pisa alrededor de 1200. Entre estos sabios se hallaba Michael Scotus, quien era astrólogo, Theodorus, el filósofo de la corte, y Dominicus Hispanus, quien fue el que le sugirió a Federico que conociese a Fibonacci, en ocasión de la reunión de la corte de Federico en Pisa hacia 1225.

Johannes de Palermo, otro miembro de la corte de Federico II presentó varios problemas y desafíos al gran matemático Fibonacci. Tres de estos problemas fueron resueltos por Fibonacci y dio soluciones en Flos que envió a Federico II. Más adelante daremos algunos detalles de estos problemas.

De después de 1228 sólo se conoce un documento que hace referencia a Fibonacci. Se trata de un decreto de la República de Pisa en 1240 en el cual se otorga un salario a:

... el serio y erudito Maestro Leonardo Bigollo ....

El salario se le dio a Fibonacci en reconocimiento por los servicios prestados a la ciudad, como consejero sobre asuntos de contabilidad y por sus enseñanzas a los ciudadanos.

Liber abaci, publicado en 1202 después del retorno de Fibonacci a Italia, fue dedicado a Scotus. El libro se basaba en los conocimientos sobre la aritmética y el álgebra que Fibonacci había acumulado durante sus viajes. El libro, que fue ampliamente copiado e imitado, presentaba el sistema decimal posicional indo arábigo y el uso de los numerales árabes en Europa. De hecho, aunque se trataba de un libro principalmente destinado al uso de los numerales árabes, conocido como algoritmia, también se estudiaron en esta obra ecuaciones lineales simultáneas. Ciertamente, muchos de los problemas que Fibonacci considera en Liber abaci eran semejantes a los que aparecían en fuentes árabes.

La segunda sección de Liber abaci contiene una gran colección de problemas destinados a comerciantes. Relacionan el precio de mercancías, cómo calcular las ganancias en las transacciones, cómo convertirlas a las varias monedas en uso en las tierras mediterráneas, así como problemas que se habían originado en China.

Un problema en la tercera sección de Liber abaci condujo a la introducción de los números y de la sucesión de Fibonacci, por los cuales se le recuerda a Fibonacci hoy en día:

Cierto hombre puso una pareja de conejos en un lugar rodeado por pared por todas partes. ¿Qué tantas parejas de conejos pueden producirse a partir de esa pareja en un año, si se supone que cada mes cada pareja produce una nueva pareja que a partir del segundo mes se vuelve fértil?

La sucesión resultante es 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ... (Fibonacci omitió el primer término en Liber abaci). Esta sucesión, en la cual cada número es la suma de los dos números precedentes, ha resultado muy fructífera y aparece en muy distintas áreas de las matemáticas y la ciencia. El Fibonacci Quarterly es una revista moderna dedicada a estudiar las matemáticas relacionadas con esta sucesión.

Muchos otros problemas aparecen en esta tercera sección, incluyendo éstos y muchos más:

Una araña trepa tantos pies por día sobre un muro y se resbala para atrás un cierto tanto cada noche. ¿Cuántos días le toma trepar todo el muro? Un galgo cuya velocidad crece aritméticamente persigue una liebre cuya velocidad también crece aritméticamente. ¿Qué tanto recorren antes de que el galgo atrape la liebre? Calcular cuánto dinero tendrán dos personas después de que cierta cantidad cambia de manos y se da el incremento o decremento proporcional.

También hay problemas que involucran números perfectos, problemas que involucran el teorema chino del residuo y problemas sobre la suma de series aritméticas o geométricas.

Fibonacci trata números tales como Ö10 en la cuarta sección, tanto con aproximaciones racionales como con construcciones geométricas.

Una segunda edición de Liber abaci fue producida por Fibonacci en 1228 con un prólogo, típico de tantas segundas ediciones de libros, que dice:

... se ha agregado material nuevo [al libro] del cual también se ha eliminado material superfluo...

Otro de los libros de Fibonacci es Practica geometriae escrito en 1220 que lo dedica a Dominicus Hispanus quien ya ha sido mencionado antes. Contiene una gran colección de problemas geométricos distribuidos en ocho capítulos, con teoremas basados en los Elementos de Euclides Sobre Divisiones. Además de los teoremas geométricos con demostraciones precisas, el libro incluye información para exploradores, incluyendo cómo calcular la altura de objetos altos usando triángulos semejantes. El capítulo final presenta lo que Fibonacci llamó sutilezas geométricas[16]:

Entre las que se incluye el cálculo de los lados de un pentágono y de un decágono, a partir del diámetro de los círculos inscrito y circunscrito; también se da el cálculo inverso, así como el de los lados a partir de sus áreas. ...para completar la sección sobre triángulos equiláteros, se inscriben un rectángulo y un cuadrado en tal triángulo, y se calculan sus lados algebraicamente...

En Flos da Fibonacci una aproximación precisa para la raíz de 10x + 2x² + x³ = 20, uno de los problemas por cuya solución fue desafiado por Johannes de Palermo. Este problema no fue inventado por Johannes de Palermo, sino que éste lo obtuvo del libro de álgebra de Omar Khayyam, donde se resuelve por medio de la intersección de un círculo y una hipérbola. Fibonacci prueba que la raíz de la ecuación no es un entero, una fracción ni la raíz cuadrada de una fracción. Luego abunda:

Y ya que no fue posible resolver esta ecuación de ninguna otra manera, trabajé para reducir la solución a una aproximación.

Sin explicar sus métodos, Fibonacci después da la solución aproximada en notación sexagesimal como 1.22.7.42.33.4.40 (esto está escrito en base 60, por lo que es 1 + ²²/₆₀ + ⁷/₆₀² + ⁴²/₆₀³ + ...). Esto se convierte en el número decimal 1.3688081075 que es correcto hasta nueve cifras decimales, un logro notable.

Liber quadratorum, escrito en 1225, es la obra más impresionante de Fibonacci, aunque no sea la obra que lo hizo famoso. El nombre significa libro de los cuadrados y versa sobre teoría de números que, entre otras cosas, examina métodos para hallar ternas pitagóricas. Fibonacci hace notar primeramente que los números cuadrados pueden construirse como sumas de impares, esencialmente describiendo una construcción inductiva que hace uso de la fórmula n² + (2n+1) = (n+1)². Fibonacci escribe:

Pensé sobre el origen de todos los números cuadrados y descubrí que surgen del ascenso regular de números impares. Ya que la unidad es un cuadrado, y de ella se produce el primer cuadrado, a saber, 1; sumando 3 a éste se obtiene el segundo cuadrado, a saber, 4, cuya raíz es 2; si a esta suma se le suma un tercer impar, a saber, 5, se obtiene el tercer cuadrado, a saber, 9, cuya raíz es3; y así la sucesión y la serie de números cuadrado siempre se obtiene a través de la suma normal de números impares.

Para construir las ternas pitagóricas, Fibonacci procede como sigue:

Así, cuando se desea hallar dos números cuadrados cuya suma produzca un número cuadrado, tomo cualquier número cuadrado impar como uno de los dos cuadrados, y encuentro el otro número cuadrado sumando todos los números impares a partir de la unidad hasta el número cuadrado impar, excluyéndolo. Por ejemplo, tomo 9 como uno de los dos cuadrados mencionados; el cuadrado restante se obtendrá sumando todos los impares anteriores a 9, a saber 1, 3, 5, 7, cuya suma es 16, un número cuadrado que al sumarlo a 9 da 25, un número cuadrado.

Fibonacci también prueba muchos resultados interesantes sobre teoría de números tales como:

No existen valores x, y, tales que x² + y² y    x² – y²  sean ambos números cuadrados.

Y x⁴ - y⁴ no puede ser un cuadrado.

Definió el concepto de congruum, un número de la forma ab(a + b)(a – b), si a + b es par, y 4 veces esto si a + b es impar. Fibonacci probó que un congruum debe ser divisible entre 24 y también probó que para x, c tales que si x² + c y x² – c son ambos cuadrados, entonces c es un congruum. También probó que un cuadrado no puede ser un congruum.

Como se dice en su biografía[17]:

... el Liber quadratorum coloca a Fibonacci como el que más ha contribuido a la teoría de números entre Diofanto y Fermat.

La influencia de Fibonacci fue más limitada de lo que podría haberse esperado y fuera de su papel en extender el uso de los numerales indo arábigos y de su problema de los conejos, la contribución de Fibonacci a las matemáticas ha sido muy ignorada. Como se explica en otra biografía[18]:

La influencia directa la ejercieron solamente las porciones del Liber abaci y de la Practica que sirvió para introducir los numerales y los métodos indo arábigos y contribuyó a dominar los problemas de la vida diaria. Aquí se convirtió Fibonacci en el maestro de los amos del cálculo y de los exploradores, como se lee en la “Summa” de Luca Pacioli... Fibonacci también fue el maestro de los ‘Causistas’, que tomaron su nombre de la palabra ‘causa’, que se usó por vez primera en el occidente por Fibonacci en lugar de res o radix. Su designación alfabética para el número general o coeficiente fue mejorada hasta Viète ...

La obra de Fibonacci en teoría de números fue casi totalmente ignorada y virtualmente desconocida durante la edad media. Trescientos años después vemos aparecer sus mismos resultados en la obra de Maurolico.

Basado en un artículo de J. J. O'Connor y E. F. Robertson

Freedman, Michael Hartley. Nació el 21 de abril de 1951 en Los Ángeles, California. Entró a la Universidad de California en Berkeley en 1968 y continuó sus estudios en la Universidad de Princeton en 1969. Obtuvo su doctorado en Princeton en 1973 con una tesis titulada Codimension-Two Surgery, escrita bajo la supervisión de William Browder.

Después de doctorarse, Freedman obtuvo una posición en el Departamento de Matemáticas de la Universidad de California en Berkeley. Conservó este puesto de 1973 a 1975 cuando se hizo miembro del Instituto para Estudios Avanzados de Princeton. En 1976 se convirtió en profesor asistente en el Departamento de Matemáticas en la Universidad de California en San Diego.

Freedman fue promovido a profesor asociado en San Diego en 1979. Pasó el año académico 1980/81 en el Instituto para Estudios Avanzados de Princeton y regresó a la Universidad de California en San Diego, donde fue promovido a profesor titular en 1982. Mantiene este puesto al alimón con la Cátedra Charles Lee Powell de Matemáticas que se le otorgó en 1985.

Freedman obtuvo la Medalla Fields en 1986 por su obra sobre la conjetura de Poincaré. La conjetura de Poincaré, uno de los más famosos problemas de matemáticas del siglo veinte afirma que una variedad tridimensional cerrada simplemente conexa es una esfera tridimensional. La conjetura de Poincaré en dimensiones superiores afirma que toda variedad cerrada n-dimensional del tipo de homotopía de la esfera n-dimensional debe ser la esfera n-dimensional. Cuando n = 3 esta afirmación es equivalente a la conjetura de Poincaré. Smale probó la conjetura en 1961 para dimensionesn al menos 5. Freedman probó la conjetura para n = 4 en 1982, pero la conjetura original sigue abierta.

Milnor, al describir la obra de Freedman que lo llevó a obtener la Medalla Fields en el Congreso Internacional de Matemáticos en Berkeley en 1986, dijo:

Michael Freedman no sólo probó la hipótesis de Poincaré para variedades topológicas 4-dimensionales, y así caracterizó la esfera S⁴, sino que nos ha proporcionado teoremas de clasificación fáciles de formular y usar, pero difíciles de probarse, para variedades 4-dimensionales mucho más generales. La naturaleza sencilla de sus resultados debe contrastarse con la extrema dificultad que se sabe ocurre en el estudio de variedades diferenciables y lineales por pedazos 4-dimensionales. ... La prueba de Freedman de 1982 de la hipótesis de Poincaré 4-dimensional fue un extraordinario “tour de force”. Sus métodos fueron tan precisos que realmente proporcionan una clasificación completa de todas las variedades topológicas simplemente conexas 4-dimensionales, dando muchos ejemplos no conocidos antes de tales variedades, y muchos homeomorfismos no conocidos antes entre variedades conocidas.

Freedman ha recibido muchos honores por su obra. Fue Científico del Año de California en 1984 y, en el mismo año, fue designado miembro de la Fundación MacArthur y fue nombrado académico de la National Academy of Sciences. En 1985 también fue nombrado miembro de la American Academy of Arts and Sciences. Además de recibir la Medalla Fields en 1986, también recibió el Premio Veblen de la American Mathematical Society ese año. Al otorgarle el Veblen se dijo[19]:

Después del descubrimiento a principios de los sesenta de una prueba de la conjetura de Poincaré y otras propiedades de variedades simplemente conexas de dimensión mayor que cuatro, uno de los más grandes problemas abiertos, además de la conjetura de Poincaré en dimensión tres, fue la clasificación de las variedades de dimensión cuatro, cerradas, simplemente conexas. En su artículo, “The topology of four-dimensional manifolds”, publicado en el Journal of Differential Geometry (1982), Freedman resolvió este problema y, en particular, la conjetura de Poincaré de dimensión cuatro. La innovación más importante fue la solución del problema simplemente conexo de cirugía, probando una condición homotópica sugerida por Casson para encajar una 2-asa, es decir, un disco engrosado en una variedad de dimensión cuatro con frontera.

En su respuesta[20], Freedman agradeció a sus maestros (quienes, dijo, incluyen a sus estudiantes) y también dio algunas visiones fascinantes de las matemáticas:

Mi interés primario en la geometría es por la luz que arroja  sobre la topología de las variedades. Aquí parece importante estar abierto a todo el espectro de la geometría, desde la formal, hasta la concreta. Por espectro, me refiero a las diferentes formas en las que podemos pensar en las estructuras matemáticas. En un extremo, la intuición sobre problemas surge casi enteramente de imágenes mentales. En el otro extremo, la carga geométrica es transformada en pensamiento simbólico y algebraico. Por supuesto, este extremo es sólo un campo intermedio desde el punto de vista algebraico, que está preparado para ir mucho más allá en la dirección de las operaciones formales, y abandonar totalmente la intuición geométrica.

En la misma respuesta Freedman habla también de la influencia que pueden tener las matemáticas sobre el mundo y la forma en la que los matemáticos deberían expresar sus ideas:

En el siglo diecinueve hubo un movimiento, del cual Steiner fue uno de los principales exponentes, para mantener pura la geometría y salvaguardarla de la depredación del álgebra. Hoy en día creo que sentimos que en gran parte el poder de las matemáticas viene de combinar enfoques desde ramas de las matemáticas bastante distantes. La matemática no es tanto una colección de temas diferentes, sino, más bien, una manera de pensar. Como tal, puede aplicarse a cualquier rama del conocimiento. Quiero aplaudir los esfuerzos que ahora hacen los matemáticos de publicar ideas sobre educación, energía, economía, defensa y paz mundial. La experiencia dentro de las matemáticas muestra que no es necesario ser una “chucha cuerera” en un área para poder hacer una contribución. Fuera de las matemáticas, la situación no es tan clara, pero no puedo dejar de sentir que ahí también es un error dejar cuestiones importantes totalmente a los expertos.

En junio de 1987 Freedman obtuvo la National Medal of Science en la Casa Blanca de manos del Presidente Ronald Reagan. El año siguiente recibió el premio Humboldt y en 1994 el Guggenheim Fellowship Award.

Basado en un artículo de J. J. O'Connor y E. F. Robertson

Klein, Felix Christian.Nació el 25 de abril de 1849 en Düsseldorf, Prusia, y murió el 22 de junio de 1925, en Göttingen, Alemania.  Es mejor conocido por su obra sobre geometría no euclidiana, sobre las conexiones entre geometría y teoría de grupos y por sus resultados en teoría de funciones.

Klein asistió al Gymnasium (bachillerato) en Düsseldorf. Después de graduarse, entró a la Universidad de Bonn y estudió matemáticas y física entre 1865 y 1866. Comenzó su carrera con la intención de convertirse en físico. Mientras estudiaba en la Universidad de Bonn, obtuvo el puesto de asistente de laboratorio de Plücker en 1866. Plücker ocupaba una cátedra de matemáticas y física experimental en Bonn, pero cuando Klein se convirtió en su asistente, los intereses de Plücker se habían enraizado firmemente en la geometría. Klein obtuvo su doctorado en 1868 en la Universidad de Bonn bajo la supervisión de Plücker, con una tesis Sobre la transformación a una forma canónica de la ecuación general de segundo grado entre coordenadas lineales, que tratacuestiones de geometría lineal y aplicaciones a la mecánica. En su disertación clasificó complejos lineales de segundo grado usando la teoría de Weierstrass de divisores elementales.

Sin embargo, en el año en el que Klein recibió su doctorado, Plücker falleció dejando incompleta su obra monumental sobre los fundamentos de la geometría lineal. Klein era la persona obvia para completar la segunda parte de la Nueva geometría del espacio de Plücker y su trabajo lo llevó a familiarizarse con Clebsch. Éste se había mudado a Göttingen en 1868 y durante 1869, Klein hizo visitas a Berlín, París y Göttingen. En julio de 1870 Klein estaba en París cuando Bismarck, el Canciller Prusiano, publicó un mensaje que enfureció al gobierno francés. Francia le declaró la guerra a Prusia el 19 de julio y Klein sintió que no podía permanecer en París y regresó. Entonces, durante un pequeño lapso, cumplió con el servicio militar como asistente médico antes de ser nombrado docente en Göttingen a principios de 1871.

Klein fue posteriormente designado profesor en Erlangen, en Baviera, en el sur de Alemania, en 1872. Recibió apoyo decisivo de Clebsch, quien consideraba que muy probablemente se convertiría en el principal matemático de sus tiempos, y así Klein ocupó una cátedra a su tierna edad de 23 años. Sin embargo, Klein no formó una escuela en Erlangen donde sólo había pocos estudiantes, de modo que se sintió complacido cuando le ofrecieron una cátedra en la Escuela Superior Técnica de Munich en 1875. Allí él y su colega Brill impartían cursos avanzados a un gran número de excelentes estudiantes y el gran talento de Klein como maestro alcanzó su máxima expresión. Entre los estudiantes que tuvo Klein en Munich estaban Hurwitz, von Dyck, Rohn, Runge, Planck, Bianchi y Ricci-Curbastro. En ese año se casó con Anne Hegel, la nieta del filósofo Georg Wilhelm Friedrich Hegel.

Después de cinco años en la Escuela Superior Técnica de Munich, Klein obtuvo una cátedra de geometría en Leipzig. Ahí tuvo como colegas a muchos talentosos jóvenes docentes, incluyendo a von Dyck, Rohn, Study y Engel. Los años de 1880 a 1886 que Klein pasó en Leipzig fueron fundamentales en muchos aspectos para cambiar su vida. Como escribe D. E. Rowe[21]:

Leipzig parecía ser un soberbio bastión para construir el tipo de escuela que tenía en mente: una escuela fuertemente basada en la abundante riqueza ofrecida por el enfoque geométrico ofrecido por Riemann para la teoría de funciones. Pero eventos imprevistos y su siempre frágil salud conspiraron en contra de sus planes. .. [En él había] dos almas... una que anhelaba la vida académica tranquila, la otra que deseaba una vida activa de editor, maestro y organizador de actividades científicas. ... Fue durante el otoño de 1882 que el primero de estos dos mundos lo aplastó ... su salud se colapsó completamente y durante los años 1883 y 1884 sufrió una depresión.

Habiendo casi acabado su carrera como investigador en matemáticas, en 1886 aceptó Klein una cátedra en la Universidad de Göttingen, donde enseñó hasta su retiro en 1913, pero entonces buscó volver a convertir a Göttingen en el centro de investigación en matemáticas más importante del mundo. Su propio papel como líder de la escuela de geometría de Leipzig nunca se transfirió a Göttingen. Allí impartió una gran variedad de cursos, principalmente sobre la interacción de las matemáticas con la física, tales como mecánica y teoría del potencial.

Klein estableció un centro de investigación en Göttingen que sirvió de modelo para los mejores centros de investigación en matemáticas del mundo. Introdujo reuniones semanales de discusión, una sala de lectura con una biblioteca de matemáticas. Klein trajo a Hilbert de Königsberg para integrarlo a su equipo de investigación en Göttingen en 1895.

La fama de la revista Mathematische Annalen se basa en las habilidades matemáticas y administrativas de Klein. La revista había sido fundada originalmente por Clebsch, pero sólo bajo la administración de Klein pudo rivalizar con el Crelle Journal y después rebasarlo en importancia. En cierto sentido, estas revistas representaban a grupos rivales: la escuela de matemáticas de Berlín que apoyaba el Crelle Journal y la de los seguidores de Clebsch que apoyaba los Mathematischen Annalen. Klein estableció un pequeño equipo de editores que se reunían regularmente y tomaban decisiones democráticas. La revista se especializaba en análisis complejo, geometría algebraica y teoría de invariantes. También proporcionaba una importante opción para el análisis real y la recién creada área de teoría de grupos.

Klein se retiró debido a su delicado estado de salud en 1913. Sin embargo, continuó enseñando matemáticas en su casa durante los años de la Gran Guerra.

Es un poco difícil de entender el significado de las contribuciones de Klein en la geometría. Esto no es por que nos resulten extrañas hoy en día, más bien al revés, se han convertido en una parte tan íntima de nuestro pensamiento matemático actual, que resulta difícil percatarse de lo novedosos que eran sus resultados, así como del hecho de que no eran aceptados universalmente por todos sus contemporáneos.

Los primeros descubrimientos matemáticos importantes de Klein los hizo en 1870 en colaboración con Lie. Descubrieron propiedades fundamentales de las rectas asintóticas de la superficie de Kummer. En colaboración posterior con Lie trabajó en una investigación sobre W-curvas, que son curvas invariantes bajo un grupo de transformaciones proyectivas. De hecho, Lie jugó un papel importante en el desarrollo de Klein, al introducirlo al concepto de grupo, que jugó un papel central en su trabajo posterior. Es justo añadir que Camille Jordan también tuvo parte importante en instruir a Klein acerca de los grupos.

Durante su tiempo en Göttingen en 1871, Klein hizo descubrimientos fundamentales sobre la geometría. Publicó dos artículos Sobre la llamada geometría no euclidiana, en los que prueba que es posible considerar la geometría euclidiana y la no euclidiana como casos especiales de una superficie proyectiva con una sección cónica específica adjunta. Esto tiene el notable corolario de que la geometría no euclidiana es consistente si y sólo si la geometría euclidiana es consistente. El hecho de que la geometría no euclidiana fuera a la sazón un tema todavía muy controvertido desapareció con ello. Su status quedó desde entonces en un nivel idéntico al de la geometría euclidiana. Cayley nunca aceptó las ideas de Klein creyendo que sus argumentos eran circulares.

La síntesis de la geometría de Klein como el estudio de las propiedades de un espacio que son invariantes bajo un cierto grupo de transformaciones, conocida como el Erlanger Programm[22](1872), influyó profundamente en el desarrollo matemático. Este programa fue escrito en ocasión de la exposición inaugural de Klein al ser designado profesor en Erlangen en 1872, aunque no fue realmente un discurso el que dio en esa ocasión. El Programa de Erlangen proporcionó un enfoque unificado de la geometría que ahora constituye la visión estándar aceptada.

Las transformaciones juegan un papel central en las matemáticas modernas y Klein mostró cómo las propiedades esenciales de una geometría dada pueden representarse por el grupo de transformaciones que conservan esas propiedades. De este modo, el Programa de Erlangen definió la geometría de manera que incluyese tanto la euclidiana como la no euclidiana.

El propio Klein veía su obra sobre teoría de funciones como su principal contribución a las matemáticas. W. Burau y B. Schoenberg escriben[23]:

Klein consideraba su obra sobre teoría de funciones como la cumbre de su trabajo en matemáticas. Le debió parte de sus grandes éxitos a su desarrollo de las ideas de Riemann y a la íntima alianza que forjó entre éstas ideas y la concepción de la teoría de invariantes, de la teoría de números y el álgebra, de la teoría de grupos y de la geometría multidimensional y la teoría de ecuaciones diferenciales, especialmente en sus propios campos: funciones modulares elípticas y funciones automorfas.

Klein consideró ecuaciones de grado mayor que 4 y se interesó particularmente en utilizar métodos trascendentes para resolver la ecuación general de quinto grado. Después de trabajar sobre métodos debidos a Hermite y Kronecker, produciendo resultados similares a los de Brioschi, continuó para resolver completamente el problema usando el grupo del icosaedro. Este trabajo lo llevó a considerar funciones modulares elípticas que estudió en una serie de artículos.

Desarrolló una teoría de funciones automorfas, y conectó resultados algebraicos y geométricos en su importante libro de 1884 sobre el icosaedro. Sin embargo, Poincaré comenzó a publicar un esbozo de su teoría de funciones en automorfas en 1881 y esto los llevó a una competencia entre ambos[24]:

Klein empezó a escribirse con Poincaré y pronto surgió una amistosa rivalidad pues ambos buscaban formular y probar un gran teorema de uniformización que sirviese como piedra angular de su teoría. Trabajando bajo gran estrés, Klein tuvo éxito al formular tal teorema y esbozar una estrategia para probarlo.

Sin embargo, fue durante este trabajo que la salud de Klein se quebrantó, como ya mencionamos antes. Junto con Robert Fricke, quien visitó Leipzig en 1884, Klein escribió un importante clásico de cuatro volúmenes sobre funciones modulares automorfas y elípticas producido durante los siguientes 20 años.

Debemos hacer mención también de la botella de Klein, una superficie cerrada de un solo lado bautizada según su descubridor.

En la década de 1890 Klein se interesó en la física matemática, aunque a lo largo de toda su carrera mostró por su actitud estar siempre cercano a esta área. De acuerdo con su interés escribió un trabajo importante sobre el giróstato con A. Sommerfeld.

Posteriormente en su carrera, Klein se interesó por la enseñanza escolar. W. Burau y B. Schoenberg escriben[25]:

A partir de 1900 comenzó a interesarse vívidamente por la instrucción matemática en niveles previos al universitario, mientras continuaba con sus funciones académicas. Se tornó así en un precursor de la modernización de la instrucción matemática en Alemania; en 1905 jugó un papel decisivo al formular los “Meraner Lehrplan-entwürfe” (diseños de programas de estudios).  El cambio esencial que recomendó fue la introducción en las escuelas secundarias de rudimentos de cálculo diferencial e integral y el concepto de función.

Klein resultó electo presidente de la Comisión Internacional sobre Instrucción Matemática en el Congreso Internacional de Matemáticos en Roma en 1908. Bajo su guía, la rama alemana de la Comisión publicó muchos volúmenes sobre la enseñanza de las matemáticas en todos los niveles.

Otro proyecto en el que trabajó hacia la vuelta del siglo fue la Enzyklopädie der Mathematischen Wissenschaften (Enciclopedia de las Ciencias Matemáticas). Tomó parte activa en este proyecto, editando con K. Müller la sección de mecánica en cuatro volúmenes.

Klein fue elegido miembro de la Real Sociedad de Gran Bretaña en 1885 y recibió la Medalla Copley de la Sociedad en 1912.

Basado en un artículo de  J. J. O'Connor y E. F. Robertson

Kronecker,  Leopold. Nació el 7 de diciembre de 1823 en Liegnitz, Prusia (ahora Legnica, Polonia), y falleció el 29 de diciembre de 1891 en Berlín, Alemania. Los padres de Leopold tenían una situación económica holgada; su padre, Isidor Kronecker, fue un exitoso hombre de negocios y su madre, Johanna Prausnitzer, también provenía de una familia acomodada. La familia era judía, religión que Kronecker mantuvo hasta un año antes de su muerte, cuando se convirtió al Cristianismo. Los padres de Kronecker emplearon tutores privados para educarlo hasta el momento en que ingresó al Gymnasium (bachillerato) en Liegnitz. Sus tutores sentaron bases muy sólidas en su educación.

Kronecker aprendió matemáticas en el Gymnasium de Liegnitz con Kummer y fue gracias a Kummer que Kronecker se interesó en las matemáticas. Kummer reconoció inmediatamente el talento de Kronecker para las matemáticas y lo condujo bastante más allá de lo que se esperaba en la escuela, animándolo a encaminarse a la investigación. A pesar de su educación judía, Kronecker recibió instrucción religiosa evangélica en el Gymnasium, lo que mostró una actitud muy abierta por parte de sus padres en cuestiones religiosas.

Kronecker ingresó como estudiante a la Universidad de Berlín en 1841 donde estudió con Dirichlet y Steiner. No se restringió a estudiar matemáticas, sino que también estudió materias como astronomía, meteorología y química. Le interesaba particularmente la filosofía para estudiar las obras filosóficas de Descartes, Leibniz, Kant, Spinoza y Hegel. Después de pasar el verano de 1843 en la Universidad de Bonn, a donde fue más por su interés en la astronomía que en las matemáticas, visitó la Universidad de Breslau durante el semestre de invierno de 1843-44. La razón por la que fue a Breslau fue ciertamente por su interés en las matemáticas pues deseaba volver a estudiar con su viejo maestro Kummer, que había obtenido una cátedra en Breslau en 1842.

Kronecker pasó un año en Breslau antes de regresar a Berlín para el semestre de invierno de 1844-45. De vuelta en Berlín trabajó en su tesis doctoral sobre teoría algebraica de números bajo la supervisión de Dirichlet. La tesis, Sobre unidades complejas fue presentada el 30 de julio de 1845 e hizo el examen el 14 de agosto. Dirichlet comentó la tesis diciendo que en ella Kronecker mostró:

... penetración poco usual, gran asiduidad y un conocimiento exacto del estado actual de las matemáticas superiores.

Puede resultar una sorpresa para muchos estudiantes de doctorado saber que Kronecker fue examinado oralmente sobre una amplia variedad de temas que incluyeron teoría de probabilidad aplicada a observaciones astronómicas, teoría de integrales definidas, series y ecuaciones diferenciales, así como sobre los griegos y la historia de la filosofía.

Jacobi tenía problemas de salud que lo obligaron a abandonar Königsberg, donde ocupaba una cátedra, y a regresar a Berlín. Eisenstein, cuya salud también era frágil, enseñaba en Berlín por esos días y Kronecker acabó conociéndolos muy bien a ambos. La dirección hacia la que más tarde se encaminaron los intereses matemáticos de Kronecker tuvo mucho que ver con la influencia de Jacobi y Eisenstein en aquella época. Sin embargo, justamente cuando parecía que se embarcaría en una carrera académica, Kronecker abandonó Berlín para ocuparse de asuntos familiares. Ayudó a administrar el negocio bancario del hermano de su madre y, en 1848, se casó con la hija de su tío, Fanny Prausnitzer. También administraba una propiedad de la familia, pero aun así encontraba tiempo para continuar trabajando en matemáticas, aunque sólo lo hacía para su propio solaz.

Ciertamente Kronecker no necesitaba un empleo remunerado, puesto que ahora era un hombre rico. Su gozo por las matemáticas era, sin embargo, tal que, cuando cambiaron las circunstancias en 1855 y ya no tuvo que vivir en la finca fuera de Liegnitz, regresó a Berlín. No deseaba un puesto universitario, sino más bien tomar parte en la vida matemática de la universidad y emprender investigación interactuando con los otros matemáticos.

En 1855 Kummer llegó a Berlín a ocupar una plaza vacante que quedó cuando Dirichlet se fue a Göttingen. Borchardt había enseñado en Berlín desde 1848 y, hacia finales de 1855, se hizo cargo como editor del Crelle Journal al fallecer Crelle. En 1856 Weierstrass llegó a Berlín, así que a un año del regreso de Kronecker a Berlín, el notable equipo formado por Kummer, Borchardt, Weierstrass y Kronecker estaba ubicado en Berlín.

Por supuesto, al no contar Kronecker en esas fechas con una posición universitaria, no enseñaba, pero estaba notablemente activo en investigación, y publicaba un gran número de artículos, uno tras otro. Éstos versaban sobre teoría de números, funciones elípticas y álgebra, pero, de manera más importante, exploraba las conexiones entre estos temas. Kummer propuso a Kronecker para ingresar a la Academia de Berlín en 1860, y la propuesta fue secundada por Borchardt y Weierstrass. El 23 de enero de 1861 Kronecker resultó electo miembro de la Academia lo que le atrajo sorprendentes beneficios.

Los miembros de la Academia de Berlín tenían derecho de enseñar en la Universidad de Berlín. Aunque Kronecker no estaba empleado en la Universidad, ni en ninguna otra organización para esos asuntos, Kummer sugirió que Kronecker ejerciera su derecho de enseñar en la Universidad, cosa que hizo a partir de octubre de 1862. Los temas sobre los que enseñaba estaban muy relacionados con su investigación: teoría de números, teoría de ecuaciones, teoría de determinantes y teoría de integrales. En sus clases[26]:

Intentaba simplificar y refinar las teorías existentes y presentarlas desde nuevas perspectivas.

Para los mejores estudiantes, sus clases eran exigentes y estimulantes. Sin embargo, no era un maestro muy popular con los estudiantes medianos[27]:

Kronecker no atraía gran número de estudiantes. Sólo unos cuantos de sus oyentes eran capaces de seguir los altos vuelos de su pensamiento, y sólo unos cuantos perseveraban hasta el final del semestre.

Berlín le resultaba atractivo a Kronecker, tanto que cuando le ofrecieron una cátedra de matemáticas en Göttingen en 1868, la declinó. Aceptaba honores tales como su elección como miembro de la Academia de París ese año y por muchos años disfrutó de buenas relaciones con sus colegas en Berlín y en otras partes. Para poder entender por qué sus relaciones empezaron a deteriorarse en la década de 1870 necesitamos examinar con más detalle las contribuciones matemáticas de Kronecker.

Ya hemos indicado que las principales contribuciones de Kronecker fueron en teoría de ecuaciones y en álgebra superior, con sus contribuciones más importantes en funciones elípticas, la teoría de ecuaciones algebraicas y la teoría algebraica de números. Sin embargo, los temas que estudiaba estaban restringidos por el hecho de que él creía en la reducción de todas las matemáticas a argumentos que involucran solamente a los enteros y a un número finito de pasos. Kronecker es bien conocido por su máxima:

Dios creo los números naturales, todo lo demás es obra del hombre.

Kronecker creía que las matemáticas deberían tratar solamente con números finitos y con un número finito de operaciones. Él fue el primero en dudar del significado de las pruebas de existencia no constructivas. Parece que desde principios de la década de 1870, Kronecker se oponía al uso de los números irracionales, de los límites superiores e inferiores y del teorema de Bolzano-Weierstrass, debido a su naturaleza no constructiva. Otra consecuencia de su filosofía de las matemáticas fue que para Kronecker los números trascendentes no podían existir.

En 1870 Heine publicó un artículo llamado Sobre series trigonométricas en el Crelle Journal, pero Kronecker trató de persuadir a Heine de retirar el artículo. Otra vez, en 1877, Kronecker trató de evitar la publicación de la obra de Cantor en el Crelle Journal, no porque tuviese sentimientos personales contra Cantor (lo cual ha sido sugerido por algunos de los biógrafos de Cantor) sino más bien porque Kronecker creía que el artículo de Cantor no tenía sentido, ya que probaba resultados sobre objetos matemáticos que según Kronecker no existían. Kronecker estaba en el consejo editorial del Crelle Journal, por lo cual ejercía una influencia particularmente fuerte en lo que se publicaba en esa revista. Después de la muerte de Borchardt en 1880, Kronecker asumió el control del Crelle Journal como editor y su influencia sobre qué artículos serían publicados creció.

El seminario matemático en Berlín había sido fundado conjuntamente en 1861 por Kummer y Weierstrass y, al retirarse Kummer en 1883, Kronecker se convirtió en codirector del seminario. Esto incrementó la influencia de Kronecker en Berlín. La fama internacional de Kronecker se difundió también y fue honrado con su elección como miembro correspondiente de la Real Sociedad de Londres el 31 de enero de 1884. También fue una figura muy influyente dentro de las matemáticas alemanas[28]:

Estableció comunicación con otros científicos extranjeros en numerosos viajes fuera de Alemania y al extenderles la hospitalidad de su casa de Berlín. Por esta razón, su consejo era solicitado frecuentemente en relación con ocupar plazas de profesor de matemáticas, tanto en Alemania como en el extranjero; sus recomendaciones fueron posiblemente tan importantes como las de su dilecto amigo Weierstrass.

Aunque la visión de Kronecker sobre las matemáticas era bien conocida para sus colegas a lo largo de las décadas de 1870 y 1880, no fue hasta 1886 que hizo públicos estos puntos de vista. En ese año, argumentó en contra de la teoría de los números irracionales usada por Dedekind, Cantor y Heine, dando las razones de su oposición:

... la introducción de varios conceptos con la ayuda de los cuales se ha intentado frecuentemente en últimas fechas (pero primeramente por Heine) concebir y establecer los “irracionales” en general. Incluso el concepto de serie infinita, por ejemplo una serie que crece de acuerdo con potencias definidas de sus variables, es, en mi opinión solamente aceptable con la reserva de que en todo caso especial, sobre la base de las leyes aritméticas para construir términos (o coeficientes),... se debe probar que se cumplen ciertas suposiciones que sean aplicables a las series como expresiones finitas, y que por tanto hacen realmente innecesaria la extensión más allá del concepto de una serie finita.

Lindemann probó que π es trascendente en 1882, y en una conferencia dictada en 1886, Kronecker felicitó a Lindemann por su bella prueba pero, afirmó, que no demostraba nada, ya que los números trascendentes no existían. Así Kronecker fue consistente en sus argumentos y sus convicciones, pero muchos matemáticos, orgullosos de sus resultados obtenidos con dificultad, sintieron que Kronecker estaba tratando de cambiar el curso de las matemáticas y eliminar sus líneas de investigación de futuros desarrollos. Kronecker explicó su programa basado en estudiar sólo objetos matemáticos después de un número finito de operaciones a partir de los enteros en Über den Zahlbegriff (Sobre el concepto de número) en 1887.

Otra característica de la personalidad de Kronecker era su tendencia a enemistarse con los que no estaba de acuerdo matemáticamente. Por supuesto, dada su creencia de que sólo existían objetos matemáticos finitamente construibles, se oponía tajantemente a la forma de Cantor de desarrollar ideas en teoría de conjuntos. No sólo las matemáticas de Dedekind, Heine y Cantor eran inaceptables para este modo de pensar, sino que también Weierstrass llegó a creer que Kronecker estaba tratando de convencer a la siguiente generación de matemáticos que la obra de Weierstrass en análisis era inservible.

Kronecker no tuvo puesto formal en Berlín hasta que Kummer se retiró en 1883 cuando se le otorgó esa cátedra. Pero para 1888 Weierstrass sintió que ya no podría seguir trabajando con Kronecker en Berlín y decidió irse a Suiza, pero entonces, al darse cuenta de que Kronecker estaría en una fuerte posición para influir en la selección de su sucesor, decidió quedarse en Berlín.

Kronecker era de muy baja estatura y extremadamente consciente de su tamaño. Un ejemplo de cómo reaccionaba Kronecker ocurrió en 1885 cuando Schwarz le envió un saludo que incluía la frase:

Quien no honra al Más Pequeño, no es digno del Más Grande.

Aquí Schwarz se mofaba del pequeño Kronecker y del grande Weierstrass. Sin embargo, Kronecker no vio el lado divertido del comentario, y nunca volvió a tener nada que ver con Schwarz (quien era estudiante de Weierstrass y yerno de Kummer). Sin embargo, otros mostraban más tacto y, por ejemplo, Helmholtz, quien era profesor en Berlín desde 1871, se las arregló para mantenerse en buenos términos con Kronecker.

La Sociedad Matemática Alemana se estableció en 1890 y su primera reunión se organizó en Halle en septiembre de 1891. No obstante el amargo antagonismo entre Cantor y Kronecker, Cantor invitó a Kronecker a dar una conferencia en esta primera reunión como una señal de respeto para una de los mayores y más eminentes figuras en las matemáticas alemanas. Sin embargo, Kronecker nunca habló en la reunión, pues su esposa se lastimó seriamente en un accidente escalando una montaña durante el verano y falleció el 23 de agosto de 1891. Kronecker sólo sobrevivió a su esposa por unos cuantos meses y falleció en diciembre de 1891.

No deberíamos pensar que la visión de Kronecker de las matemáticas fuera totalmente excéntrica. Aunque es cierto que la mayor parte de los matemáticos de su época no coincidían con su visión, y en realidad la mayoría de los matemáticos hoy día tampoco lo harían, esta visión no fue desdeñada. Las ideas de Kronecker fueron desarrolladas aún más por Poincaré y Brouwer, quienes pusieron especial énfasis sobre la intuición. El intuicionismo pone acento en el hecho de que las matemáticas tienen prioridad sobre la lógica, los objetos de las matemáticas se construyen y se operan en la mente por el matemático, y es imposible definir las propiedades de los objetos matemáticos solamente estableciendo un cierto número de axiomas.

Basado en un artículo de J. J. O'Connor y E. F. Robertson

Mandelbrot, Benoit B.  Nació el 20 de noviembre de 1924 en Varsovia, Polonia. Por mucho, Mandelbrot ha sido el responsable del actual interés por la geometría fractal. Mostró cómo los fractales pueden aparecer en muchos ámbitos diferentes, tanto en matemáticas como en otros aspectos de la naturaleza.

Mandelbrot nació en el seno de una familia con mucha tradición académica. Sin embargo, su padre se ganaba la vida comprando y vendiendo ropa, mientras que su madre era médica. Cuando niño, Mandelbrot conoció las matemáticas gracias a sus dos tíos.

La familia de Mandelbrot emigró a Francia en 1936 y su tío Szolem Mandelbrojt, quien era profesor de matemáticas en el Collège de France y sucesor de Hadamard en esta posición, se responsabilizó por su educación. De hecho, la influencia de Szolem Mandelbrojt fue a la vez positiva y negativa, puesto que era un gran admirador de Hardy y de la filosofía de las matemáticas de Hardy. Esto atrajo en Mandelbrot una reacción en contra de las matemáticas puras, aunque como el propio Mandelbrot afirma, ahora ya entiende cómo el profundo pacifismo de Hardy lo hacía temer que las matemáticas aplicadas cayeran en las manos equivocadas y fuesen utilizadas para hacer daño en tiempos de guerra.

Mandelbrot asistió al Lycée Rolin en París hasta el comienzo de la Segunda Guerra Mundial, cuando su familia se mudó a Tulle en Francia central. Fue ésta una época de extraordinaria dificultad para Mandelbrot quien temió por su vida en varias ocasiones. Él mismo hace énfasis en el efecto de estos años de su educación[29]:

La guerra, la amenaza constante de la pobreza y la necesidad de sobrevivir me mantuvieron alejado de la escuela y de la universidad, y a pesar de los “maravillosos” maestros de enseñanza secundaria, en muy buena parte fui autodidacto.

Mandelbrot atribuye hoy gran parte de su éxito a esta educación no convencional. Le permitió pensar de maneras que serían difíciles para alguien a través de la educación tradicional es fuertemente presionado a pensar de manera estándar. También le permitió desarrollar un enfoque altamente geométrico de las matemáticas, y su notable intuición y visión geométrica comenzaron a darle un panorama único de los problemas matemáticos.

Después de estudiar en Lyon, Mandelbrot entró a la École Normale en París. Fue uno de los períodos más cortos en que alguien haya estudiado ahí, puesto que permaneció sólo un día. Después de haber tenido un exitoso desempeño en los exámenes de admisión en la École Polytechnique, Mandelbrot comenzó sus estudios ahí en 1944. Estudió bajo la dirección de Paul Lévy, quien también ejerció una fuerte influencia en Mandelbrot.

Al finalizar sus estudios en la École Polytechnique, Mandelbrot fue a los Estados Unidos donde estuvo en el Caltech (California Institute of Technology). Después de obtener un doctorado otorgado por la Universidad de París, estuvo en el Instituto de Estudios Avanzados de Princeton donde fue patrocinado por John von Neumann.

Mandelbrot regresó a Francia en 1955 y trabajó en el CNRS (Céntre National de la Recherche Scientifique). Se casó con Aliette Kagan durante este período en Francia y Ginebra, pero no pasó mucho tiempo antes de que volviera a los Estados Unidos. Clark dio las razones para su infelicidad con el estilo de las matemáticas en Francia en esta época[30]:

Aún profundamente preocupado por las ideas más exóticas de la mecánica estadística y la lingüística matemática, y lleno de ideas heterodoxas, no encontró de su agrado científico el enorme predominio de la escuela fundacional francesa de Bourbaki, por lo que en 1958 partió definitivamente a los Estados Unidos y comenzó una muy fructífera y colaboración con IBM como ‘Fellow’ en sus mundialmente reconocidos laboratorios en Yorktown Heights en el estado de New York.

IBM proporcionó a Mandelbrot un ambiente que le permitió explorar toda una variedad de ideas diferentes. Él mismo ha expresado cómo en IBM esta libertad de elegir las direcciones en las que deseaba llevar su investigación le dio una oportunidad que ninguna posición universitaria podría haberle dado. Después de retirarse de IBM, encontró oportunidades semejantes en la Universidad de Yale, en donde actualmente es Profesor Sterling de Ciencias Matemáticas.

En 1945 el tío de Mandelbrot le mostró la importancia del artículo de Julia de 1918 afirmando que se trataba de una obra maestra y una fuente potencial de problemas interesantes, pero a Mandelbrot no le gustó. De hecho, reaccionó bastante mal contra las sugerencias propuestas por su tío, puesto que sintió que su propia actitud frente a las matemáticas era distinta de la de su tío. Así, Mandelbrot eligió su propia ruta, la cual, sin embargo, volvió a llevarlo al artículo de Julia en los años setentas después de un camino arduo a través de distintas ciencias, algunas de las cuales se caracterizan por ser altamente individualistas o nómadas. En efecto, la decisión de Mandelbrot de hacer contribuciones a muchas ramas diferentes de la ciencia fue tomada muy deliberadamente en su juventud. Es notable cómo fue capaz de satisfacer su ambición con tan notable éxito en tan distintas áreas.

Con la ayuda de graficación computacional (computer graphics), Mandelbrot, que trabajaba entonces en el Centro Watson de Investigación de IBM, logró mostrar cómo la obra de Julia es fuente de algunos de los más hermosos fractales conocidos hoy en día. Para hacerlo, desarrolló no sólo nuevas ideas matemáticas, sino que también tuvo que desarrollar algunos de los primeros programas computacionales para imprimir gráficos.

Su obra fue puesta de forma elaborada por primera vez en su libro Les objets fractals, form, hasard et dimension  (Los objetos fractales, forma, azar y dimensión) de 1975 y de forma más completa en The fractal geometry of nature  (La geometría fractal de la naturaleza) de 1982.

El 23 de junio de 1999 Mandelbrot recibió el Grado Honorario de Doctor en Ciencias de la Universidad de St. Andrews. En la ceremonia Peter Clark dirigió un discurso en el que puso los logros de Mandelbrot en perspectiva. Dijo[31]:

... al finalizar el siglo, cuando la noción del progreso humano intelectual, político y moral es visto, por decir lo menos, como ambiguo y equívoco, hay un área de la actividad humana en la que las ideas y los logros del progreso real no son ambiguos y son claros como el agua. Esta disciplina son las matemáticas. En 1900, en una famosa conferencia durante el Congreso Internacional de Matemáticos en París, David Hilbert hizo una lista de unos 25 problemas abiertos de significado extraordinario. Muchos de esos problemas han sido definitivamente resueltos, otros han sido probados como insolubles, y han culminado recientemente, como todos sabemos, con la prueba, a mitad de los noventas, del Último Teorema de Fermat. El primero de los problemas de Hilbert trataba de una variedad de cuestiones sobre la naturaleza del continuo, o de la recta real, una preocupación mayor del análisis del siglo diecinueve, e incluso, del siglo veinte. El problema trataba tanto de la geometría de la recta pensada como formada por puntos, como de la aritmética pensada como la teoría de los números reales. La integración de ambos campos fue uno de los grandes logros de Richard Dedekind y Georg Cantor, al último de los cuales tuvimos [Universidad de St. Andrews] la inteligencia de honrarlo en 1911.

Merodeando ahora, por así decirlo, en las profundidades de tal logro, se encontraban ciertos objetos geométricos francamente extraordinarios.  Para todos a la vez, parecían extraños, eran monstruos bastante patológicos. Eran conjuntos verdaderamente raros, eran curvas –líneas unidimensionales, de hecho– que llenaban espacios bidimensionales, había curvas que se comportaban bien, es decir, bonitas y continuas, mas que no tenían pendiente en ningún punto (no sólo en algunos puntos, sino en ningún punto) y tenían nombres extraños: la curva de Peano que llena el espacio, el empaque de Sierpinski, la curva de Koch, el conjunto ternario de Cantor. A pesar de sus cualidades patológicas, su extraordinaria complejidad, especialmente cuando se los ve con más y más detalle, eran frecuentemente muy simples de describir en el sentido de que las reglas que los generaban eran absurdamente sencillas de expresar.   Tan raros eran estos objetos que los matemáticos evitaban estos monstruos y fueron puestos aparte como demasiado extraños para ser de interés.  Esto fue así hasta que nuestro recipiendario del doctorado honorario creó con ellos toda una nueva ciencia, la teoría de la geometría fractal:  fueron su intuición y visión las que vieron en estos objetos y en muchos de los nuevos que él descubrió, algunos de los cuales llevan ahora su nombre, no curiosidades matemáticas, sino indicativos de un nuevo universo matemático, una nueva geometría tan sistemática y general como la de Euclides y de una nueva ciencia física.

Como investigador, tanto de IBM, como del Centro Watson, Mandelbrot era profesor de la práctica de las matemáticas en la Universidad de Harvard. También tuvo puestos como profesor de ingeniería en Yale, de profesor de matemáticas en la École Polytechnique, de profesor de economía en Harvard y de profesor de fisiología en el Einstein College of Medicine. Las excursiones de Mandelbrot en tan diferentes ramas de la ciencia no fueron, como ya dijimos, un accidente, sino más bien una decisión deliberada de su parte. Sin embargo, fue el hecho de que los fractales se encontraran por todas partes, lo que lo condujo a otras áreas. Continuó Clark:

No debería... de dar la impresión de que quien tenemos ante nosotros sea solamente un matemático. Déjenme explicar por qué. La primera de sus grandes intuiciones fue el descubrimiento de las complejas estructuras, casi patológicas, que habían sido ampliamente ignoradas y que exhibían ciertas características universales que requerían de una nueva teoría de la dimensión para tratarlas adecuadamente; esto lo llevó a generalizar trabajos antiguos de Hausdorff y Besicovitch; pero su segunda gran intuición fue que la propiedad fractal así descubierta, a partir de la teoría general que había formulado, estaba presente de manera casi universal en la naturaleza. Lo que él vio fue que el imperioso paradigma de continuidad de todas las derivadas con el que la física matemática había intentado describir la naturaleza era radicalmente imperfecto e incompleto. Los fractales y los prefractales, una vez detectados, están dondequiera. Aparecen en la física en la descripción del comportamiento extraordinariamente complejo de algunos sistemas físicos sencillos, como el péndulo forzado, y en el comportamiento enormemente complejo de la turbulencia y la transición de fase. Aparecen como el fundamento de lo que hoy se conoce como sistemas caóticos. Aparecen en la economía con el comportamiento de los precios, y como Poincaré lo había sospechado, aunque nunca lo probó, en el comportamiento de la bolsa o de nuestro propio mercado accionario de Londres.  Aparecen en fisiología en el crecimiento de las células de los mamíferos. Aunque no lo crean... aparecen hasta en los huertos. Observen cuidadosamente y verán una diferencia entre la cabeza de un bróculi y la de una coliflor, una diferencia que puede caracterizarse exactamente en la teoría fractal.

Mandelbrot ha recibido numerosos honores y premios que reconocen sus notables logros. Por ejemplo, en 1985 Mandelbrot obtuvo la Medalla Barnard por servicios meritorios a la ciencia. Al año siguiente recibió la Medalla Franklin. En 1987 se le otorgó el Premio Alexander von Humboldt, y en 1988 la Medalla Steinmetz, y muchos más reconocimientos que incluyen la Medalla Nevada en 1991 y el Premio Wolf de física en 1993

Basado en un artículo de  J. J. O'Connor y E. F. Robertson

Moebius, August Ferdinand. Nació el 17 de noviembre de 1790 en Schulpforta, Sajonia, ahora Alemania, y murió el 26 de septiembre de 1868 en Leipzig, Alemania.  Fue hijo único de Johann Heinrich Moebius, un maestro de baile, quien falleció cuando August tenía tres años de edad. Su madre era descendiente de Martín Lutero. Moebius fue educado en casa hasta los 13 años de edad y ya entonces mostraba interés en las matemáticas. Fue a la universidad en Schulpforta en 1803.  Se graduó en 1809 y se convirtió en estudiante de la Universidad de Leipzig. Su familia deseaba que estudiase leyes y, en efecto, comenzó a estudiar esa materia. Sin embargo, pronto descubrió que esto no lo satisfacía y en la mitad de su primer año decidió seguir sus propias preferencias en vez de las de su familia. Así comenzó a estudiar matemáticas, astronomía y física.

El maestro que más influencia tuvo sobre Moebius durante su estancia en Leipzig fue el astrónomo Karl Mollweide, quien también es bien conocido por un cierto número de descubrimientos matemáticos, en particular, las relaciones trigonométricas de Mollweide, que descubrió entre 1807 y 1809, y la proyección conforme de mapas de Mollweide, es decir, que conserva ángulos.

En 1813, Moebius viajó a Göttingen, donde estudió astronomía bajo la dirección de Gauss, quien era director del Observatorio en Göttingen y, por supuesto, el más grande matemático de su época. Así, nuevamente Moebius pudo estudiar con un astrónomo, cuyos intereses eran de tipo matemático. De Göttingen, Moebius se fue a Halle, donde estudió con Johann Pfaff, maestro también de Gauss. Con Pfaff, Moebius estudió matemáticas más que astronomía, así que a estas alturas ya estaba trabajando sólidamente en ambas disciplinas.

En 1815, Moebius escribió su tesis doctoral sobre La ocultación de estrellas fijas y comenzó a trabajar en su Habilitación, que es un grado posterior al doctorado, que en muchas universidades de Europa central se exige para ocupar una plaza definitiva. De hecho, mientras escribía este trabajo, hubo un intento de enrolarlo en el ejército prusiano. Moebius escribió:

Ésta es la idea más horrible que he escuchado, y cualquiera que se aventure, ose, se atreva, inste y tenga la audacia de proponérmelo ya no estará seguro ante mi daga.

Evitó el ejército y terminó su trabajo de Habilitación sobre Ecuaciones Trigonométricas. El interés de Mollweide en las matemáticas era tal que había desocupado la cátedra de astronomía para ocupar la de matemáticas en Leipzig, por lo que Moebius tenía grandes esperanzas de ser nombrado profesor de astronomía ahí mismo. En efecto, ocupó la cátedra de astronomía y mecánica superior en la Universidad de Leipzig en 1816. Su nombramiento inicial fue como Profesor Extraordinario.

Sin embargo, Moebius no fue promovido pronto a profesor titular. Parecía que no era un buen expositor en sus clases, por lo que no atraía estudiantes que pagaran cuota por sus clases, lo que le hacía la vida difícil. Se vio forzado a anunciar sus cursos como gratuitos, para que los estudiantes consideraran que valía la pena inscribirse en ellos.

Le ofrecieron una posición como astrónomo en Greifswald en 1816, y luego otra como matemático en Dorpat en 1819. Rechazó las dos, en parte por su convicción acerca de la alta calidad de la Universidad de Leipzig, y en parte por su lealtad hacia Sajonia. En 1825 Mollweide murió y Moebius aspiró a ser transferido a su cátedra de matemáticas siguiendo la ruta que Mollweide había seguido antes. Sin embargo, éste no fue el caso y se prefirió a otro matemático para el puesto.

Hacia 1844 la reputación de Moebius como investigador le valió una invitación a la Universidad de Jena, y en esta etapa, también la Universidad de Leipzig le otorgó la titularidad en su puesto de profesor de astronomía, la que claramente se merecía.

Desde los días de su primer nombramiento en Leipzig, Moebius también ocupó el puesto de Observador en el Observatorio en Leipzig. Se involucró en la reconstrucción del Observatorio y de 1818 hasta 1821 supervisó el proyecto. Visitó varios otros observatorios en Alemania antes de dar sus recomendaciones para el nuevo Observatorio. En 1820 se casó y de su matrimonio tuvo una hija y dos hijos. En 1848 fue nombrado director del Observatorio.

En 1844 Grassmann visitó a Moebius. Le pidió que revisara su obra principal Die lineare Ausdehnungslehre, ein neuer Zweig der Mathematik (La teoría de expansión lineal, una nueva rama de las matemáticas) (1844), que contenía muchos resultados similares a los de Moebius. Aunque Moebius no comprendió la importancia de la obra de Grassmann y no la revisó, lo convenció de someterla para un premio y, después de que Grassmann lo ganó, en 1847 Moebius escribió una revisión de la participación que lo hizo ganar.

Aunque su obra más famosa es en matemáticas, Moebius publicó una obra importante en astronomía, De Computandis Occultationibus Fixarum per Planetas (1815), concerniente a las ocultaciones de los planetas. También escribió Die Hauptsätze der Astronomie (Los principales postulados de la astronomía) (1836) y Die Elemente der Mechanik des Himmels (Los elementos de la mecánica celeste) (1843).

Las publicaciones matemáticas de Moebius, si bien no siempre originales, eran presentaciones efectivas y claras. Sus contribuciones a las matemáticas fueron descritas por su biógrafo Richard Baltzer[32] como sigue:

La  inspiración para su investigación casi siempre la encontró en la rica fuente de su propia mente. Su intuición, los problemas que él mismo se planteaba y las soluciones que encontraba, todas exhibían algo extraordinariamente ingenioso, algo original en una forma espontánea. Trabajaba sin prisa, tranquilamente y solo. Su obra permaneció casi bajo llave hasta que todo se fue poniendo en su lugar. Sin premura, sin pompa y sin arrogancia, esperó a que los frutos de su mente maduraran. Sólo después de esa espera publicó sus obras perfeccionadas...

Casi toda la obra de Moebius fue publicada en el Crelle Journal, la primera revista dedicada exclusivamente a publicar matemáticas. La obra de Moebius de 1827 Der barycentrische Calkül (El cálculo baricéntrico), sobre geometría analítica, se convirtió en un clásico e incluye muchos de sus resultados sobre geometría proyectiva y geometría afín. En ella introduce las coordenadas homogéneas y también discute transformaciones geométricas, en particular, transformaciones proyectivas. Introdujo una configuración ahora llamada red de Moebius, que ha jugado un importante papel en el desarrollo de la geometría proyectiva.

El nombre de Moebius está ligado con muchos importantes objetos matemáticos tales como la función de Moebius, que introdujo en su artículo de 1831 Über eine besondere Art von Umkehrung der Reihen (Sobre una forma especial de invertir las series) así como la fórmula de inversión de Moebius.

En 1837 publicó el Lehrbuch der Statik (Texto de Estática), que hace un estudio geométrico de la estática.  Condujo, de hecho, al estudio de sistemas de rectas en el espacio.

Antes de que Francis Guthrie hubiera planteado el problema de los cuatro colores para colorear mapas, en 1840 Moebius había preguntado lo siguiente:

Hubo una vez un rey que tenía cinco hijos.  En su testamento estipuló que a su muerte, el reino habría de dividirse por sus hijos en cinco regiones, de tal forma que cada región tuviese una frontera común con cada una de las otras cuatro. ¿Es posible cumplir con los términos del testamento?

Por supuesto, la respuesta es negativa y fácil de demostrar. Sin embargo, ilustra el interés de Moebius en las ideas topológicas, un área en la cual se le recuerda mucho como pionero. En una memoria, presentada a la Académie des Sciences y apenas descubierta hasta después de su muerte, discutió las propiedades de las superficies de una sola cara, que incluyen la famosa banda de Moebius, que descubrió en 1858. Este descubrimiento lo hizo al trabajar en una pregunta sobre la teoría geométrica de los poliedros, planteada por la Academia de París.

Aunque conocemos este objeto hoy en día como banda de Moebius, no fue Moebius quien lo describió primero; tomando cualquier criterio, ya sea fecha de publicación o fecha del primer descubrimiento, en esto lo precedió Listing.

Basado en un artículo de J. J. O'Connor y E. F. Robertson

Newton, Sir Isaac.Nació el 4 de enero de 1643 [33] en Woolsthorpe, Lincolnshire, Inglaterra y murió el 31 de marzo de 1727 en Londres, Inglaterra.  La vida de Newton puede dividirse entres períodos bastante distintos. El primero es el de su infancia desde 1643 hasta su graduación en 1669. El segundo, que va de 1669 a 1687, fue altamente productivo y en el que ocupó la cátedra Lucasiana en Cambridge. El tercer período (casi tan largo como los otros dos juntos) correspondió a un Newton con un alto sueldo como funcionario del gobierno en Londres y con muy poco interés en las matemáticas.

Isaac Newton nació en la casa solariega de Woolsthorpe, cerca de Grantham en Lincolnshire. Procedía de una familia de granjeros, pero nunca conoció a su padre, quien murió antes de que él naciera. Su madre se volvió a casar, se mudó a una aldea cercana y lo dejó bajo el cuidado de su abuela. Después de la muerte de su padrastro en 1656, la madre de Newton lo sacó de la Escuela de Gramática de Grantham, en la que no perfilaba bien en su trabajo académico. Sus notas e informes escolares lo describían como ‘flojo’ y ‘falto de atención’. Uno de sus tíos decidió que habría de prepararse para  la Universidad, e ingresó al viejo Colegio de su tío, el Trinity College, en Cambridge, en junio de 1661.

El objetivo de Newton en Cambridge era obtener un grado en Derecho. La instrucción en Cambridge estaba dominada por la filosofía aristotélica, aunque se dejaba un cierto margen de libertad de estudio a partir del tercer año. Newton estudió entonces la filosofía de Descartes, Gassendi y Boyle. Las nuevas álgebra y geometría analítica de Viète, Descartes y Wallis, y la mecánica de la astronomía copernicana de Galileo le resultaban muy atractivas. El talento de Newton comenzó a surgir a la llegada de Barrow a la cátedra Lucasiana en Cambridge.

Su  genio científico apareció cuando a causa de la plaga se cerró la Universidad en el verano de 1665 y Newton tuvo que regresar a Lincolnshire. Ahí, en un período de menos de dos años, mientras aún no alcanzaba los 25 años de edad, comenzó a hacer avances revolucionarios en matemáticas, óptica, física y astronomía.

Mientras Newton estuvo en casa sentó los fundamentos del cálculo diferencial e integral varios años antes del descubrimiento independiente de Leibniz. El ‘método de las fluxiones’, como lo designó, estaba basado en su crucial forma de ver que la integración de una función no es otra cosa que el procedimiento inverso al de su diferenciación. Tomando la diferenciación como la operación básica, Newton produjo sencillos métodos analíticos que unificaron muchas técnicas separadas, previamente desarrolladas para resolver problemas aparentemente desvinculados, tales como el cálculo de áreas, tangentes, así como las longitudes de curvas y sus máximos y mínimos. El “De Methodis Serierum et Fluxionum” de Newton se escribió en 1671, pero no fue publicado hasta que John Colson hizo una traducción al inglés en 1736.

Barrow renunció a la cátedra Lucasiana en 1669 y recomendó a Newton (que apenas tenía 27 años) para que la ocupara.

La primera obra de Newton como Profesor Lucasiano fue sobre óptica. Había llegado a la conclusión durante los dos años de la plaga, de que la luz no era una entidad sencilla. Todos los científicos, desde Aristóteles, habían creído que sí lo era, pero la aberración cromática en un lente de telescopio convenció a Newton de lo contrario. Cuando hacía pasar un delgado rayo de luz solar a través de un prisma de vidrio, notó que se formaba el espectro de colores.

Newton argumentó que la luz blanca es en realidad una mezcla de muchos diferentes tipos de rayos que son refractados en ángulos ligeramente distintos, y que cada tipo diferente de rayos produce un color espectral específico. Esto llevó a Newton a la conclusión errónea de que los telescopios que usan lentes refractores siempre habrían de sufrir aberración cromática. Por tanto, propuso y construyó un telescopio reflector. Newton fue designado miembro de Real Sociedad en 1672, después de donarle un  telescopio reflector.

También en 1672 Newton publicó su primer artículo científico sobre luz y color en las Philosophical Transactions of the Royal Society.

El artículo de Newton fue bien recibido, pero Hooke y Huygens le objetaron su intento de probar sólo experimentalmente que la luz consiste en el movimiento de pequeñas partículas más que de ondas. Quizá debido a la gran reputación que ya tenía Newton, su teoría corpuscular reinó hasta que la teoría ondulatoria fue revivida en el siglo diecinueve.

Las relaciones de Newton con Hooke se deterioraron y se encerró en sí mismo alejándose de la Real Sociedad. Retrasó la publicación de un recuento total de sus investigaciones en óptica hasta después de la muerte de Hooke en 1703. El “Opticks” de Newton apareció en 1704. Trataba sobre la teoría de la luz y el color y sobre colores en hojas delgadas, ‘anillos de Newton’ y difracción de la luz.

Para explicar algunas de sus observaciones tuvo que usar una teoría ondulatoria de la luz en conjunción con su teoría corpuscular.

El gran logro de Newton fue su obra sobre física y mecánica celeste, que culminó con la teoría de la gravitación universal. Para 1666 Newton tenía versiones preliminares de sus tres leyes del movimiento. También había descubierto la ley que describía la fuerza centrífuga en un cuerpo que se mueve uniformemente en una trayectoria circular. Sin embargo, no comprendía correctamente la mecánica del movimiento circular.

La novedosa idea de Newton de 1666 fue imaginar que la gravedad de la Tierra ejercía influencia sobre la Luna, contrarrestando su fuerza centrífuga. De su ley de la fuerza centrífuga y la tercera ley de Kepler del movimiento planetario, Newton dedujo su ley de los cuadrados inversos.

En 1679, Newton aplicó su talento matemático para probar una conjetura de Hooke, probando que si un cuerpo obedece la segunda ley de Kepler entonces sobre él se ejerce una fuerza centrípeta. Este descubrimiento mostró el significado físico de esta segunda.

En 1684 Halley, cansado de las fanfarronerías de Hooke, le preguntó a Newton si podía probar la conjetura de Hooke, de que la atracción está en proporción recíproca con el cuadrado de la distancia, y le dijo que ya había resuelto el problema cinco años antes, pero que había extraviado el artículo. Ante la urgencia de Halley, Newton reprodujo las pruebas y las extendió en un artículo sobre las leyes del movimiento y problemas de mecánica orbital.

Halley persuadió a Newton para que escribiera un tratado completo de su nueva física y sus aplicaciones a la astronomía. Más de un año después (1687), Newton publicó su “Philosophiae naturalis principia mathematica” o “Principia”, como siempre se le ha conocido.

Los “Principia” son reconocidos como el mayor libro científico jamás escrito. Newton analizó el movimiento de cuerpos en medios resistentes y no resistentes bajo la acción de fuerzas centrípetas. Los resultados se aplicaron a cuerpos en órbita, proyectiles, péndulos y caída libre cerca de la Tierra. Además demostró que los planetas eran atraídos hacia el Sol por una fuerza que varía como el inverso del cuadrado de la distancia y generalizó esto afirmando que todos los cuerpos celestes se atraen mutuamente.

Una mayor generalización llevó a Newton a la ley de la gravitación universal:

Toda materia atrae a cualquier otra materia con una fuerza proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre ellas.

Newton explicó una amplia gama de fenómenos no relacionados previamente: las órbitas excéntricas de los cometas, las mareas y sus variaciones, la precesión del eje de la Tierra y el movimiento de la Luna al verse perturbada por la gravedad del Sol.

Después de sufrir un colapso nervioso en 1693, Newton se retiró de la investigación y asumió un cargo en el gobierno en Londres como Custodio (1696) y Master (1699) de la Real Casa de Moneda.

En 1703 fue elegido Presidente de la Real Sociedad, puesto para el que fue reelegido cada año hasta su muerte. Fue investido Caballero en 1708 por la Reina Ana, convirtiéndose así en el primer científico que por su trabajo ostentó el título de Sir antes de su nombre.

Basado en un artículo de  J. J. O'Connor y E. F. Robertson

Pascal, Blaise. Nació el 19 de junio de 1623 en Clermont (ahora Clermont-Ferrand), Auvergne, Francia, y murió el 19 de agosto de 1662 en París, Francia.  Su padre, Étienne Pascal, tenía una concepción poco ortodoxa de la educación y decidió ser él quien instruyera a su hijo. Decidió que Blaise no debía estudiar matemáticas antes de los 15 años y por tanto eliminó todos los textos de matemáticas que había en la casa. La curiosidad de Pascal, sin embargo, fue exacerbada con esto, por lo que comenzó a trabajar en cuestiones de geometría por su propia cuenta a la edad de 12 años. Descubrió que la suma de los ángulos interiores de un triángulo equivale a 2 ángulos rectos y, cuando su padre descubrió esto, se retractó y le facilitó a Pascal una copia de los “Elementos” de Euclides.

A la edad de 14, Pascal comenzó a asistir a reuniones de Mersenne, quien pertenecía a la orden religiosa de los Mínimos, y cuya celda en París era un lugar frecuente de reunión para Fermat, Pascal, Gassendi y otros. A la edad de 16, Pascal presentó una sola hoja de papel en una de las reuniones de Mersenne. Contenía varios teoremas de geometría proyectiva, incluyendo el hexágono místico de Pascal.

Pascal inventó la primera calculadora digital (1642) para ayudar a su padre. El  aparato, llamado la Pascalina, parecía una calculadora mecánica de los cuarentas. Esto, casi ciertamente, convierte a Pascal en el segundo inventor de una calculadora mecánica, pues Schickard ya había fabricado una en 1624.

Pascal tuvo que afrontar problemas en el diseño de la calculadora, debidos al diseño de la moneda francesa de la época. Había 20 soles en una libra y 12 denarios en un sol. Este sistema subsistió en Francia hasta 1799, pero en Gran Bretaña un sistema con similares múltiplos se usó hasta 1971. Pascal tuvo que resolver muchos más problemas técnicos difíciles para poder trabajar con esta división de la libra entre 240, que si hubiera tenido una división entre 100. No obstante, la producción de las máquinas empezó en 1642 pero, como escribe Adamson[34],

Hacia 1652 se habían producido cincuenta prototipos, pero pocas máquinas se vendieron y la manufactura de la calculadora aritmética de Pascal se suspendió ese año.

Sucesos ocurridos en 1646 fueron de gran significación para el joven Pascal. En ese año su padre se lastimó una pierna y tuvo que recuperarse en su casa. Lo cuidaban dos jóvenes hermanos de un movimiento religioso justo en las afueras de Rouen. Tuvieron un profundo efecto en el joven Pascal y se hizo hondamente religioso.

A partir de alrededor de esta época, Pascal comenzó una serie de experimentos sobre presión atmosférica. Hacia 1647 había probado satisfactoriamente la existencia del vacío. Descartes visitó a Pascal el 23 de septiembre. Su visita sólo duró dos días y ambos discutieron acerca del vacío, en el cual Descartes no creía. Éste escribió, de manera bastante cruel, en una carta a Huygens después de esta visita, que Pascal

... tiene demasiado vacío en su cabeza.

En agosto de 1648, Pascal observó que la presión de la atmósfera decrece con la altura y dedujo que existía un vacío arriba de la atmósfera. Descartes le escribió a Carcavi en junio de 1647 sobre los experimentos de Pascal diciendo:

Fui yo quien hace dos años le aconsejé hacerlo, pues aunque yo mismo no lo he llevado a cabo, no tenía duda de su éxito ...

En octubre de 1647 Pascal escribió Nuevos Experimentos Concernientes al Vacío que lo condujo a disputas con varios científicos que, como Descartes, no creían en el vacío.

Étienne Pascal murió en septiembre de 1651 y a raíz de ello, Blaise le escribió a una de sus hermanas dándole un significado profundamente cristiano a la muerte, en general, y al fallecimiento de su padre, en particular. Sus ideas sobre esto constituyeron la base para su obra filosófica posterior Pensées (“Pensamientos”), una colección de pensamientos personales sobre el sufrimiento humano y la fe en Dios. La ‘apuesta de Pascal’ asegura probar que la creencia en Dios es una cuestión racional con el siguiente argumento:

“Si Dios no existe, no se pierde nada creyendo en Él, mientras que si sí existe, se perdería todo no creyendo [en Él]”.

Desde mayo de 1653 Pascal trabajó sobre matemáticas y física escribiendo Tratado sobre el Equilibrio de los Líquidos (1653) en el cual explica la ley de la presión de Pascal. Adamson escribe[35]:

Este tratado es un esbozo completo de un sistema hidrostático, el primero en la historia de la ciencia, que incluye su más distintiva e importante contribución a la teoría física.

Sus estudios en hidrodinámica, hidrostática y presión atmosférica lo llevaron a inventar la jeringa y la prensa hidráulica, y a descubrir la ley de la presión de Pascal.

Trabajó sobre secciones cónicas y produjo importantes teoremas en geometría proyectiva. En La Generación de Secciones Cónicas (la mayor parte del cual fue terminada en marzo de 1648 pero vuelta a trabajar en 1653 y 1654) Pascal consideraba cónicas generadas por proyección central de un círculo. Ésta habría de ser la primera parte de un tratado sobre cónicas que Pascal nunca completó. La obra está perdida ahora, pero Leibniz y Tschirnhaus hicieron notas de ella y es a través de esas notas que se puede tener ahora una imagen más o menos completa de la obra.

Aunque no fue Pascal el primero en estudiar el triángulo de Pascal, su obra sobre el tema en el Tratado sobre el Triángulo Aritmético fue el más importante sobre este tema y, a través de la obra de Wallis, la obra de Pascal sobre los coeficientes binomiales condujo a Newton a su descubrimiento del teorema binomial general para potencias fraccionarias y negativas.

En correspondencia con Fermat sentó las bases para la teoría de la probabilidad. Esta correspondencia consistió de cinco cartas y se dio durante el verano de 1654. Consideraron el problema de los dados, que ya había sido estudiado por Cardan, y el problema de puntos también considerado por Cardan y, alrededor de la misma época, por Pacioli y Tartaglia. El problema de los dados consiste en preguntar cuántas veces hay que lanzar un par de dados antes de esperar un doble seis, mientras que el problema de los puntos pregunta cómo dividir las puestas si un juego de dados queda incompleto. Resolvieron el problema de los puntos para un juego con dos jugadores, pero no desarrollaron métodos matemáticos suficientemente poderosos para resolverlo para tres o más jugadores.

Durante el período de esta correspondencia, Pascal no estaba bien. En una de las cartas a Fermat escrita en julio de 1654 dice

... aunque aún estoy postrado en cama, debo decirle que ayer por la tarde me dieron su carta.

Sin embargo, a pesar de los problemas de salud, trabajó intensamente en cuestiones científicas y matemáticas hasta octubre de 1654. En algún momento en esos días estuvo a punto de perder la vida en un accidente. Los caballos que tiraban de su carruaje se desbocaron y el carruaje quedó colgando de un puente sobre el río Sena. Aunque fue rescatado sin daño físico, parece que quedó muy afectado psicológicamente. No mucho tiempo después, el 23 de noviembre 1654,  tuvo otra experiencia religiosa que lo hizo empeñar su vida al Cristianismo.

Después de esos días, Pascal hizo visitas al monasterio jansenista de Port-Royal des Champs a unos 30km al sudoeste de París. Empezó a publicar obras anónimas sobre temas religiosos, dieciocho Cartas Provinciales que se publicaron durante 1656 y principios de 1657. Fueron escritas en defensa de su amigo Antoine Arnauld, un opositor de los jesuitas y defensor del jansenismo, quien estaba bajo juicio ante la facultad de teología en París por sus controvertidas obras religiosas.

Su última obra matemática versó sobre la cicloide, es decir, la curva trazada por un punto sobre la circunferencia de un círculo girando.

Pascal murió a los 39 años de edad, en intenso dolor después de que un tumor maligno en su estómago se le extendió al cerebro.

Basado en un artículo de  J. J. O'Connor y E. F. Robertson

Pitágoras.  Nació cerca de 569 AC en Samos, Jonia, y murió cerca de 475 AC.   Pitágoras de Samos es descrito frecuentemente como el primer matemático puro. Es una figura extremadamente importante en el desarrollo de las matemáticas, aunque es relativamente poco lo que se conoce de sus logros matemáticos. A diferencia de matemáticos griegos posteriores, de quienes al menos tenemos algunos de los libros que escribieron, de Pitágoras no tenemos ningún escrito. La sociedad que dirigió, semirreligiosa y semicientífica, seguía un código secreto, que ciertamente aún hoy hace de Pitágoras una figura misteriosa.

Tenemos detalles de la vida de Pitágoras gracias a biografías antiguas que hicieron uso de fuentes originales escritas por autores que le atribuyen poderes divinos, y cuyo propósito era presentarlo como una divinidad. Lo que aquí se presenta es un intento de recolectar las fuentes más confiables para reconstruir un relato de la vida de Pitágoras. Hay un acuerdo bastante bueno acerca de los principales sucesos en su vida, aunque la mayor parte de las fechas las disputan distintos estudiosos que dan fechas con diferencias de 20 años. Algunos historiadores tratan toda esta información como meras leyendas, pero incluso si el lector así las trata, al tratarse de registros tan antiguos, tienen un valor histórico.

Según Porfirio, el padre de Pitágoras fue Mnesarco[36] [37], mientras que según Jámblico, su madre fue Pythais[38], nativa de Samos. Mnesarco era un mercader que vino de Tiro, Fenicia, y hay una historia que cuenta Porfirio acerca de que Mnesarco trajo granos a Samos cuando se había presentado una hambruna, y que con ese motivo se le reconoció otorgándole la ciudadanía de Samos. Cuando niño, Pitágoras pasó sus años tempranos en Samos, pero después viajó mucho con su padre. Hay relatos que cuentan que Mnesarco regresó a Tiro con Pitágoras y que ahí recibió instrucción de los caldeos y los sabios de Siria. Parece que también visitó Italia con su padre.

Se sabe poco de la infancia de Pitágoras. Todos los relatos acerca de su aspecto físico parecen ser ficticios salvo por la descripción de un asombroso nevo materno (lunar) que tenía Pitágoras en el muslo. Es probable que haya tenido dos hermanos, aunque algunas fuentes dicen que tuvo tres. Ciertamente recibió una muy buena instrucción, aprendiendo a tocar la lira, a hacer poesía y a recitar a Homero. Entre sus maestros estaban tres filósofos que influyeron en Pitágoras durante su juventud. Uno de los más importantes fue Feréquides, a quien muchos describen como el maestro de Pitágoras.

Los otros dos filósofos que influyeron en él y lo introdujeron al pensamiento matemático fueron Tales y su discípulo Anaximandro, quienes vivieron en Mileto. Jámblico dice que Pitágoras visitó a Tales en Mileto, cuando tenía entre 18 y 20 años de edad. Para entonces Tales ya era un anciano, y aunque aún causó una fuerte impresión en Pitágoras, probablemente ya no le enseñó mucho. Sin embargo, contribuyó al interés de Pitágoras en las matemáticas y la astronomía, y le aconsejó viajar a Egipto para aprender más sobre estas disciplinas.  El discípulo de Tales, Anaximandro, enseñaba en Mileto y Pitágoras asistía a sus cursos. Anaximandro estaba ciertamente interesado en la geometría y la cosmología, y muchas de sus ideas tuvieron influencia en los conceptos de Pitágoras.

Alrededor de 535 AC, Pitágoras fue a Egipto. Esto ocurrió unos cuantos años después de que el tirano Polícrates se apoderara del control de la ciudad de Samos. Hay cierta evidencia para pensar que Pitágoras y Polícrates tuvieron una amistad al principio y se afirma[39] que Pitágoras fue a Egipto llevando una carta de presentación de Polícrates. En efecto, Polícrates tenía una alianza con Egipto, por lo que había fuertes vínculos entre Samos y Egipto en esa época. Los relatos acerca de la estancia de Pitágoras en Egipto sugieren que visitó muchos de los templos y tomó parte en muchas discusiones con los sacerdotes. Según Porfirio[40] [41], filósofo neoplatónico nacido en Tiro, Pitágoras fue rechazado al intentar visitar los templos egipcios, con la excepción del de Dióspolis, donde sí fue aceptado para el sacerdocio después de completar los ritos necesarios para la admisión.

No es difícil relatar muchas de las creencias de Pitágoras, las que él impondría después en la sociedad que estableció en Italia a partir de las costumbres que  aprendió en Egipto. Por ejemplo, la actitud secreta de los sacerdotes egipcios, su rechazo a ingerir leguminosas, incluso su rechazo a usar ropas hechas de pieles de animales y su aspiración por lograr la pureza eran todas costumbres que adoptaría Pitágoras posteriormente. Porfirio dice que Pitágoras aprendió geometría de los egipcios, pero es probable que ya tuviera familiaridad con la geometría, ciertamente a partir de las enseñanzas de Tales y Anaximandro.

En 525 AC, Cambises II, el rey de Persia, invadió Egipto. Polícrates abandonó su alianza con Egipto y envió 40 barcos a reunirse con la flota persa contra los egipcios. Después de que Cambises había ganado la Batalla de Pelusio en el Delta del Nilo y de que había ocupado Heliópolis y Menfis, la resistencia egipcia cedió. Pitágoras fue hecho prisionero y llevado a Babilonia. Jámblico[42]escribe sobre Pitágoras:

... fue transportado por los seguidores de Cambises como prisionero de guerra. Mientras estuvo ahí tuvo el gusto de asociarse con los Magoi... y fue instruido en sus ritos sagrados y aprendió acerca de una adoración muy mística de los dioses. También alcanzó la cúspide de la perfección en aritmética y música, y en las demás ciencias matemáticas enseñadas por los Babilonios...

Alrededor de 520 AC, Pitágoras abandonó Babilonia y regresó a Samos. Polícrates había sido asesinado alrededor de 522 AC y Cambises había muerto en el verano de ese año, ya sea por suicidio o por causa de un accidente. Las muertes de estos gobernantes pueden haber sido el factor para que Pitágoras  regresara a Samos, pero en ningún lado se explica cómo obtuvo su libertad. Darío de Persia había asumido el control de Samos después de la muerte de Polícrates y parece haber estado aun en control de la isla al regreso de Pitágoras. Esto entra en conflicto con los relatos de Porfirio y Diógenes Laercio[43], quienes afirman que Polícrates todavía estaba controlando Samos cuando Pitágoras regresó.

Pitágoras hizo un viaje a Creta poco después de su regreso a Samos para estudiar el sistema legal ahí. A su regreso a Samos fundó una escuela llamada el Semicírculo. En el tercer siglo DC, Jámblico[44] escribe que:

... [Pitágoras] formó una escuela en la ciudad [de Samos], el 'semicírculo' de Pitágoras, conocido hasta hoy por ese nombre, en el cual los samios efectúan reuniones políticas. Lo hacen pues piensan que hay que discutir cuestiones sobre bondad, justicia y conveniencia en este lugar fundado por el hombre que hizo de todos estos temas su propio asunto. Fuera de la ciudad hizo de una cueva el sitio privado de su propia enseñanza filosófica, pasando casi toda la noche así como el día ahí para investigar la utilidad de las matemáticas...

Pitágoras abandonó Samos y se fue al sur de Italia cerca de 518 AC (algunos afirman que fue mucho antes). Jámblico da algunas razones para su salida de Samos. En primer lugar los comentarios sobre la respuesta de los samios a sus métodos de enseñanza:

... trataba de utilizar su método simbólico de enseñanza, que era semejante en todos sus aspectos a lo que él había aprendido en Egipto. Los samios no se sentían muy entusiastas por su método y lo trataban  de una manera ruda e impropia.

Esta excusa, de acuerdo con Jámblico, fue usada en parte por Pitágoras para dejar Samos:

... Pitágoras fue arrastrado a toda clase de misiones diplomáticas por sus conciudadanos y fue forzado a participar en asuntos públicos. ... Sabía que todos los filósofos que lo precedieron habían acabado sus días en tierras extranjeras, por lo que decidió huir de toda responsabilidad política, alegando como excusa, de acuerdo con algunas fuentes, el desprecio que los samios tenían por sus métodos de enseñanza.

Pitágoras fundó una escuela filosófica y religiosa en Crotón (ahora Crotona, en el este del “tacón” del sur de Italia) que tenía muchos seguidores. Pitágoras era cabeza de la sociedad con un círculo interno de seguidores conocidos como los mathematikoi. Los mathematikoi vivían permanentemente con la Sociedad, no tenían propiedad personal y eran vegetarianos. Recibían enseñanzas del propio Pitágoras y obedecían reglas estrictas. Las creencias de Pitágoras eran[45]:

(1)             que en su nivel más profundo, la realidad es de naturaleza matemática,

(2)             que la filosofía puede ser usada para la purificación espiritual,

(3)             que el alma puede elevarse para su unión con lo divino,

(4)             que ciertos símbolos tienen significado místico, y

(5)             que todos los hermanos de la orden deben observar estricta lealtad y guardar actitud secreta.

Tanto hombres como mujeres eran admitidos como miembros de la Sociedad; en efecto, varias de las mujeres pitagóricas se convirtieron después en filósofas famosas. El círculo exterior de la Sociedad era conocido como los “acusmáticos” (de “acústica” y “matemáticos”) y vivían en sus propias casas, y sólo venían a la Sociedad durante el día. Podían tener propiedades privadas y no se les exigía que fueran vegetarianos.

De la propia obra de Pitágoras no se sabe nada. Su escuela practicaba la actitud secreta y el comunalismo, lo que hacía difícil distinguir entre la obra de Pitágoras y la de sus seguidores. Ciertamente, su escuela hizo contribuciones extraordinarias a las matemáticas, y es posible tener bastante certeza acerca de algunas de las contribuciones matemáticas de Pitágoras. Primero debe quedar claro en qué sentido Pitágoras y los mathematikoi estudiaban matemáticas. No actuaban como un grupo de investigación en matemáticas en una universidad u otra institución moderna. No había 'problemas abiertos' que tuvieran que resolver, y de ninguna manera estaban interesados en tratar de formular o resolver problemas matemáticos.

Más bien Pitágoras estaba interesado en los principios de las matemáticas, el concepto de número, el concepto de triángulo o de otras figuras matemáticas, y de la idea abstracta de demostración. Brumbaugh[46] escribe:

Es difícil para nosotros hoy, por más familiarizados que estemos con la abstracción matemática pura y con el acto mental de la generalización, apreciar la originalidad de esta contribución pitagórica.

De hecho, hoy en día somos tan sofisticados que incluso ya no reconocemos a 2 como una cantidad abstracta. Hay un paso notablemente grande entre 2 barcos + 2 barcos = 4 barcos y el resultado abstracto 2 + 2 = 4, que se aplica no solamente a barcos, sino a plumas, gente, casas, etc. Hay otro paso para ver que la noción abstracta de 2 es una cosa que, en cierto sentido, es tan real como un barco o una casa.

Pitágoras creía que todas las relaciones podían reducirse a relaciones de números. Aristóteles escribió:

Los Pitagóricos... habiéndose formado dentro del estudio de las matemáticas, pensaban que las cosas eran números... y que todo el cosmos es una escala y un número.

Esta generalización provenía de las observaciones de Pitágoras en música, matemáticas y astronomía. Pitágoras observó que las cuerdas vibrantes producen tonos armoniosos cuando las razones de las longitudes de las cuerdas son números enteros, y que estas razones podían considrerase en otros instrumentos. En efecto, Pitágoras hizo notables contribuciones a la teoría matemática de la música. Era un excelente músico, que tocaba la lira y usaba la música como medio para ayudar a los enfermos.

Pitágoras estudiaba propiedades de los números que serían muy familiares para los matemáticos de hoy, tales como números pares e impares, números triangulares, números perfectos, etc. Sin embargo, para Pitágoras los números tenían personalidades que difícilmente reconoceríamos como matemáticas hoy[47]:

Cada número tenía su propia personalidad - masculino o femenino, perfecto o incompleto, hermoso o feo. Las matemáticas modernas han eliminado deliberadamente este sentimiento, pero aún lo encontramos  en la ficción y la poesía. Diez era el mejor número: contenía en sí mismo los primeros cuatro enteros –uno, dos, tres y cuatro [1 + 2 + 3 + 4 = 10]– y escritos estos en notación de puntos formaban un triángulo perfecto.

Por supuesto recordamos hoy a Pitágoras especialmente por su famoso teorema de geometría. Aunque el teorema, ahora conocido como el teorema de Pitágoras, ya lo conocían los babilonios 1000 años atrás, tal vez haya sido él quien por primera vez lo demostró. Proclo, el último gran filósofo griego, que vivió alrededor de 450 AC escribió[48]:

Después [de Tales, etc.] Pitágoras transformó el estudio de la geometría en una educación liberal, examinando los principios de la ciencia desde su comienzo y probando los teoremas de una manera inmaterial e intelectual: él fue quien descubrió la teoría de los irracionales y la construcción de las figuras cósmicas.

Heath[49] da una lista de teoremas atribuidos a Pitágoras, o más bien, a los pitagóricos.

(i) La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a dos ángulos rectos. También conocían los pitagóricos la generalización que establece que para un polígono con n lados la suma de sus ángulos interiores es 2n – 4 ángulos rectos y la suma de sus ángulos exteriores es igual a cuatro ángulos rectos.

(ii) El teorema de Pitágoras –para un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados. Debemos notar que para Pitágoras el cuadrado de la hipotenusa ciertamente no debe ser considerado como el número multiplicado por sí mismo, sino más bien, como un cuadrado geométrico construido sobre el lado. Decir que la suma de dos cuadrados es igual a un tercer cuadrado significaba que los dos cuadrados podían ser recortados en pedazos y rearmados para formar un cuadrado idéntico el tercero.

(iii) Construir figuras de un área dada y álgebra geométrica. Por ejemplo resolvieron ecuaciones tales como  a(a - x) = x²   por medios geométricos.

(iv) El descubrimiento de los irracionales. Este se le atribuye ciertamente a los pitagóricos pero parece poco probable que se le deba al propio Pitágoras. Iba contra la filosofía de Pitágoras de que todas las cosas eran números, ya que por número entendía la razón entre dos números enteros. Sin embargo, debido a su creencia de que todas las cosas eran números sería una tarea natural tratar de probar que la hipotenusa de un triángulo rectángulo isósceles tenía longitud correspondiente a un número.

(v) Los cinco sólidos regulares. Se piensa que el propio Pitágoras sabía cómo construir los primeros tres, pero es poco probable que haya sabido cómo construir los otros dos.

(vi) En astronomía Pitágoras, enseñaba que la Tierra era una esfera en el centro del Universo. También reconoció que la órbita de la Luna estaba inclinada con respecto al ecuador de la Tierra y fue uno de los primeros en darse cuenta de que Venus, como estrella de la tarde, era el mismo planeta que Venus, como estrella de la mañana.

En primera instancia, sin embargo, Pitágoras era filósofo. Además de sus creencias sobre los números, geometría y astronomía que ya hemos descrito, tenía[50]:

... las siguentes enseñanzas filosóficas y éticas: ... la dependencia de la dinámica que tiene la estructura del mundo de la interacción de contrarios, o pares de opuestos; la visión del alma como un número con movimiento propio, que experimenta una forma de metempsicosis, o reencarnación sucesiva en diferentes especies hasta su final purificación (particularmente a través de la vida intelectual de los pitagóricos éticamente rigurosos); y el entendimiento... de que todos los objetos existentes estaban fundamentalmente compuestos de forma y no de sustancia material. Además, la doctrina pitagórica... identificaba el cerebro como el lugar geométrico del alma; y prescribía ciertas prácticas de culto secretas.

Brumbaugh [51] también describe sus prácticas éticas:

En sus prácticas éticas, los pitagóricos eran famosos por su mutua amistad, altruismo y honestidad.

La Sociedad de Pitágoras  en Crotón también fue afectada por los eventos políticos, a pesar de su deseo de mantenerse al margen de la política. Pitágoras fue a Delos en 513 AC a cuidar a su viejo maestro Feréquides que se estaba muriendo. Estuvo ahí unos cuantos meses hasta la muerte de su amigo y maestro y entonces retornó a Crotón. En 510 AC Crotón atacó y venció a su vecina Sibaris y hubo ciertas sospechas de que Pitágoras estuviera involucrado en la disputa. Entonces, cerca de 508 AC,  la Sociedad Pitagórica en Crotón fue atacada por Cilón, un noble de la propia Crotón. Pitágoras escapó a Metaponto y casi todos los autores afirman que ahí murió, y algunos dicen que se suicidó por el ataque a su Sociedad. Jámblico[52] cita una versión de lo ocurrido:

Cilón, un crotoniata y ciudadano importante por nacimiento, fama y riqueza, pero por otro lado un hombre difícil, violento, molesto y con tendencias tiránicas, deseaba ansiosamente participar del modo de vida pitagórico. Se acercó a Pitágoras, que ya estaba viejo, pero fue rechazado por sus defectos de carácter descritos. Cuando esto ocurrió, Cilón y sus amigos se unieron para hacer un fuerte ataque a Pitágoras y sus seguidores. Así, un celo fuerte y agresivo activó a Cilón y a sus seguidores a perseguir a los pitagóricos hasta que no quedara ninguno. Por esto, Pitágoras partió a Metaponto y se dice que ahí terminó sus días.

Esto parece estar aceptado por la mayoría, pero Jámblico mismo no acepta esta versión y arguye que el ataque de Cilón fue una cuestión menor y que Pitágoras regresó a Crotón. Ciertamente, la Sociedad Pitagórica prosperó por muchos años después de estos sucesos y se extendió de Crotón a muchas otras ciudades italianas. Gorman[53] sostiene que ésta es una fuerte razón para creer que Pitágoras regresó a Crotón y cita otra evidencia, que es la edad de Pitágoras, ampliamente difundida, de alrededor de 100 años a su muerte, y el hecho de que muchas fuertes afirman que Pitágoras enseñó a Empédocles, para confirmar que murió años después del 480 AC.

La evidencia de cuándo y donde murió Pitágoras es poco clara. Ciertamente, la Sociedad Pitagórica se expandió rápidamente después de 500 AC, se tornó de naturaleza política y se subdividió en un cierto número de facciones. En 460 AC la Sociedad[54]:

...fue suspendida violentamente.  Sus casas de reunión fueron saqueadas y quemadas en todas partes; se hace mención, en particular, de “la casa de Milo” en Crotón, donde 50 o 60 pitagóricos fueron sorprendidos y asesinados. Los que sobrevivieron se refugiaron en Tebas y en otros lugares.

Basado en un artículo de J. J. O'Connor y E. F. Robertson

Plateau, Joseph Antoine Ferdinand. Nació el 14 de octubre de 1801 en Bruselas y murió el 15 de septiembre de 1883 en Gante, ambos en Bélgica. Su padre fue pintor de flores y era su deseo que Joseph fuera artista. Al terminar sus estudios elementales, lo envió a la Academia de Diseño en Bruselas. Huérfano a los catorce, quedó bajo la tutela de un tío materno, quien era abogado y trató de convencerlo de estudiar las leyes. Sus estudios intermedios los hizo en el Ateneo Real de Bruselas y, en 1822, entró a la Universidad de Lieja, donde se inscribió tanto en filosofía y letras, como en ciencias. Finalmente obtuvo el doctorado en ciencias físicas y matemáticas en 1829. Después de un breve período docente en el Ateneo Real en Lieja, en 1835 fue designado profesor de física experimental en la Universidad de Gante. Su tesis doctoral fue "Sobre ciertas propiedades de las impresiones producidas por la luz en el órgano visual". Esta fue la línea de investigación que mantuvo por varios años, en la que analizó la persistencia de impresiones luminosas en la retina, colores accidentales, irradiación, el contraste de colores, sombras de colores, etc. Muchos de sus resultados siguen siendo clásicos.

En matemáticas se le recuerda por los problemas de Plateau. Usaba una solución de agua jabonosa y glicerina y sumergía contornos de alambre para notar que las superficies que se formaban eran superficies mínimas.

Plateau no tenía las habilidades matemáticas que le permitieran investigar el problema teóricamente, pero Weierstrass, Riemann y Schwarz trabajaron sobre el problema, el cual fue finalmente resuelto por Douglas y Radó. Plateau escribió algunos trabajos matemáticos sobre teoría de números y un artículo conjunto con Quetelet.

En el curso de sus investigaciones sobre la persistencia de imágenes en la retina, alguna vez mantuvo fija la vista en el sol por 25 segundos con el ojo sin protección; su imprudencia le atrajo una inflamación coroidea que, en 1843, resultó en ceguera total. Obligado a abandonar la docencia, continuó, no obstante, su trabajo experimental con admirable valor y gran éxito, ayudado por su hijo mayor, Félix Plateau, quien era naturalista, por su yerno Van der Mensbruyghe, quien era físico, y por algunos amigos y colegas de la Universidad de Gante. Después de 1844 Joseph Plateau ya no contó con un laboratorio, salvo su estudio en su modesta casa. Él mismo planeaba los experimentos y arreglaba con antelación todos los detalles. Sus asistentes le iban anunciando en voz alta lo que hacían, lo que observaban y los resultados de cada proceso. Joseph Plateau les dictaba, entonces, las notas y, después, el texto de las memorias para su publicación. Trabajó así hasta rebasar los ochenta. Joseph Plateau fue un católico practicante. Fue miembro de la Real Academia de Bélgica, a cuyas reuniones asistía con puntualidad; fue correspondiente del Instituto de Francia y miembro de la mayoría de las academias y sociedades eruditas de Europa.

Plateau también fue el inventor del estroboscopio, un artefacto que emplea los pulsos luminosos para alumbrar un objeto, ya sea vibrante o rotatorio, para hacerlo aparecer inmóvil o en movimiento muy lento. El estroboscopio trabaja permitiendo que el ojo sólo mire el objeto, o una porción de él, en intervalos de tiempo que correspondan a la tasa de vibración o rotación del objeto. La tasa de movimiento y los pulsos luminosos se ajustan una con otro.

Plateau utilizaba un disco con ranuras radiales, a la que daba vuelta mientras observaba una rueda girando. Cuando la velocidad angular del disco y la rueda coincidían, la rueda aparecía inmóvil. Otros pioneros empleaban espejos rotatorios o vibrantes para producir pulsos luminosos. En el siglo diecinueve, se usó la cámara para capturar imágenes estroboscópicas para estudios de movimiento, y la fotografía estroboscópica se convirtió en la mayor aplicación de estos artefactos. El uso de las fotografías estroboscópicas par producir la ilusión de movimiento condujo al desarrollo del cine.

Basado en un artículo de J. J. O'Connor y E. F. Robertson

Platón. Nació en 427 AC en Atenas, Grecia, y murió en 347 AC en Atenas, Grecia. Casi todos los datos que daremos fueron anotados por el propio Platón en cartas que parecen ser verosímiles. Sin embargo, no es claro si fue el mismo Platón quien escribió esas cartas, por lo que hay tres posibles interpretaciones. La primera, que Platón las escribió, por lo que los detalles son precisos. La segunda, que aunque no las haya escrito Platón, las cartas fueron escritas por alguien cercano a él o, al menos, alguien que tenía acceso a información precisa sobre su vida. La tercera posibilidad, que desafortunadamente no se puede descartar, es que hayan sido escritas por alguien como pura ficción.

Comentaremos sobre el nombre ‘Platón’. Rowe escribe[55]:

Se ha afirmado que el nombre real de Platón era Aristocles y que ‘Platón’ no era más que un apodo (más o menos, ‘el ancho’) derivado ya fuera del ancho de sus hombros, resultado del entrenamiento para la lucha, de la anchura de su estilo o del tamaño de su frente.

Platón era el más joven de los hijos de Aristón y Periccione, ambos provenientes de familias ricas y famosas que habían vivido en Atenas por generaciones. Mientras Platón era aún joven murió su padre y su madre se volvió a casar con un hombre llamado Pirilampes. En gran parte fue en la casa de Pirilampes que Platón creció. Aristóteles escribe que cuando Platón era joven estudió con Cratilo, quien había sido estudiante de Heráclito, famoso por su cosmología basada en el fuego como el material básico del Universo. Es casi seguro que Platón se hizo amigo de Sócrates cuando era joven, ya que Carmides, el hermano de la madre de Platón, era amigo cercano de Sócrates.

La Guerra del Peloponeso entre Atenas y Esparta ocurrió entre 431 AC y 404 AC. Platón estuvo en servicio militar de 409 AC a 404 AC, pero para entonces buscaba hacer una carrera política más que una carrera militar. Al final de la guerra se unió a la oligarquía de los Treinta Tiranos en Atenas, impuestos por Lisandro en 404 AC, uno de cuyos jerarcas era Carmides, el hermano de su madre. Pero sus actos violentos obligaron a Platón a que pronto los abandonara.

En 403 AC sobrevino la restauración de la democracia en Atenas y Platón tuvo grandes esperanzas de poder entrar a la política de nuevo. Sin embargo, los excesos de la vida política ateniense parecían haberlo persuadido de abandonar sus ambiciones políticas. En particular, la ejecución de Sócrates en 399 AC tuvo un profundo efecto en él y decidió que ya no tendría nada más que ver con la política en Atenas.

Platón abandonó Atenas después de que Sócrates fuera ejecutado, y viajó a Egipto, Sicilia e Italia. En Egipto vio funcionar un reloj de agua, que después introdujo a Grecia. En Italia conoció la obra de Pitágoras y comenzó a apreciar el valor de las matemáticas. Este fue un hecho de gran importancia, puesto que de las ideas que obtuvo Platón de los discípulos de Pitágoras, se formó su propia idea[56]:

...de que la realidad que busca el pensamiento científico debe poder expresarse en términos matemáticos, pues las matemáticas son la forma más precisa y definitiva del pensamiento, del cual somos capaces. La significación de esta idea para el desarrollo de la ciencia desde sus comienzos hasta el día de hoy ha sido inmensa.

De nuevo hubo un período de guerra y otra vez Platón se enlistó para el servicio militar. Afirman autores posteriores que sobre la vida de Platón han escrito, que fue condecorado por su valor en batalla durante este período de su vida. Se piensa que fue entonces cuando comenzó a escribir sus diálogos.

A su regreso a Atenas, Platón fundó, alrededor de 387 AC, sobre jardines que supuestamente habían pertenecido a Academo, el héroe ateniense que ayudó a Cástor y Pólux a rescatar a su hermana Helena del poder de Teseo, una escuela de aprendizaje, que fue llamada Academia. Platón presidió su Academia en Atenas, haciéndola una institución dedicada a la investigación y a la instrucción en filosofía y ciencias, desde 387 AC hasta su muerte. Sus razones para establecer la Academia estaban vinculadas con sus antiguas incursiones en la política. Se había sentido amargamente decepcionado por los estándares de quienes detentaban el poder público, por lo que esperaba entrenar en su Academia a jóvenes que desearan convertirse en estadistas. Sin embargo, después de impartirles los valores en los que Platón creía, pensaba que estos hombres podrían mejorar el liderazgo de las ciudades estado de Grecia.

Sólo dos episodios más en la vida de Platón fueron registrados. Fue a Siracusa en 367 AC después de la muerte de Dionisio I, quien había regido la ciudad. Dion, el cuñado de Dionisio I, persuadió a Platón para que viniera a Siracusa a asesorar a Dionisio II, el nuevo gobernante. Platón no tenía esperanzas de tener buen éxito, pero ya que tanto Dion como Arquitas de Tarento creían en el plan, Platón accedió. Su plan consistía en que si Dionisio II era entrenado en cuestiones de ciencia y filosofía, podría evitar que Cartago invadiese Sicilia. Sin embargo, Dionisio II se sentía celoso de Dion, quien tuvo que abandonar Siracusa y el plan y, como Platón lo había temido, fracasó.

Platón regresó a Atenas, pero volvió a visitar Siracusa otra vez en 361 AC esperando juntar a los rivales. Se quedó en Siracusa durante una parte de 360 AC pero no logró ninguna solución política a la rivalidad. Dion atacó Siracusa en un golpe en 357, obtuvo el control, pero fue asesinado en 354.

Field escribe que la vida de Platón[57]:

... hace claro que la concepción de Platón como un escolar reservado y espiritual, que en sus estudios teje teorías muy alejadas de la vida práctica, es muy poco precisa. Por el contrario, era un hombre de mundo, un soldado experimentado, que había viajado ampliamente, con estrechos contactos con muchos de los líderes, tanto en su propia ciudad como en otras partes.

Las principales contribuciones de Platón son en la filosofía, en las matemáticas y en la ciencia. Sin embargo, no es tan fácil, como podría esperarse, descubrir las concepciones filosóficas de Platón. La razón de esto es que Platón no escribió ningún trabajo sistemático que expresara sus puntos de vista; más bien escribió un cierto número de diálogos (cerca de 30), en forma de conversaciones. Son estos diálogos excelentes piezas de literatura[58]:

Muestran el dominio del lenguaje, el poder de carácter indicativo, el sentido de una situación y el ojo clínico, para sus aspectos tanto trágicos, como cómicos, que colocaron a Platón entre los más grandes escritores del mundo. Usa plenamente este talento para inculcar las lecciones que desea enseñar.

En cartas escritas por Platón aclara que comprende la dificultad de desarrollar su teoría filosófica a partir de los diálogos, pero afirma que el lector logrará entenderla después de pensarla, discutirla y cuestionarla por largo tiempo. Los diálogos no incluyen a Platón como personaje, por lo que no declara que lo que en ellos se afirma sea su propia visión. Los caracteres son históricos y normalmente incluyen a Sócrates como el protagonista, por lo que no resulta claro hasta qué grado estos personajes expresan una visión con la que ellos mismos estuviesen de acuerdo. Se piensa que, al menos en los primeros diálogos, el personaje de Sócrates expresa una visión que el propio Sócrates realmente sostenía.

A través de estos diálogos, Platón contribuyó a la teoría del arte, en particular, la danza, la música, la poesía, la arquitectura y el drama. Discutió una gran variedad de temas filosóficos, incluida la ética y la metafísica, en la cual trató aspectos como la inmortalidad, el hombre, la mente y el realismo.

También discutió la filosofía de las matemáticas, la filosofía política, en la que diserta sobre temas como la censura, y la filosofía religiosa, en la que considera ateísmo, dualismo y panteísmo. Al discutir la epistemología manejó ideas tales como el conocimiento a priori y el racionalismo. En su teoría de Formas, Platón rechazó el mundo inmutable, engañoso, del que somos conscientes a través de nuestros sentidos, y propone en su lugar un mundo de ideas constantes y verdaderas.

Podemos ilustrar la teoría de Formas de Platón con uno de sus ejemplos matemáticos. Platón considera los objetos matemáticos como formas perfectas. Por ejemplo, una línea como un objeto con longitud, mas sin anchura. Sin importar qué tan delgada hagamos una línea en el mundo de nuestros sentidos, ésta no será una forma matemática perfecta, pues siempre tendrá anchura. En elFedón, Platón charla sobre objetos en el mundo real que tratan de ser como sus formas perfectas. En esto, piensa en líneas más y más angostas que en el límite tienden al concepto matemático de línea, pero por supuesto, nunca lo alcanzan. Otro ejemplo del Fedón lo da Field[59]:

El ejemplo que ahí toma es la relación matemática de igualdad, y hace resaltar el contraste entre igualdad absoluta como la pensamos en matemáticas y la igualdad aproximada, gruesa, con la que tenemos que contentarnos al tratar con objetos a través de nuestros sentidos.

Nuevamente, en la República, Platón habla de diagramas geométricos como imitaciones imperfectas de los objetos matemáticos perfectos que representan.

Las contribuciones de Platón a las teorías de la educación se muestran en la forma como condujo la Academia y en su idea de lo que constituye una persona educada. Contribuyó también a la lógica y a la filosofía del derecho, incluyendo la retórica.

Aunque Platón mismo no hizo descubrimientos matemáticos importantes, su creencia en que las matemáticas proporcionan el entrenamiento más refinado para la mente fue sumamente importante en el desarrollo del tema. Sobre la puerta de la Academia estaba escrito:

Quien no sea versado en la geometría no ha de entrar aquí.

Platón se concentró en la idea de demostración e insistió en definiciones precisas e hipótesis claras. Esto sentó las bases para el enfoque sistemático a las matemáticas de Euclides. En su biografía[60] se resumen sus contribuciones a las matemáticas a través de sus estudiantes:

Casi toda la obra matemática importante del siglo IV fue hecha por amigos y discípulos de Platón. Los primeros estudiosos de las secciones cónicas, y posiblemente Theaetetus, el creador de la geometría sólida, eran miembros de la Academia. Eudoxo de Cnidus –autor de la doctrina de la proporción expuesta en los “Elementos” de Euclides, inventor del método exhaustivo para encontrar las áreas y los volúmenes de figuras curvilíneas y proponedor del esquema astronómico de las esferas concéntricas adoptado y alterado por Aristóteles – removido de su escuela de Cyzicus a Atenas con el propósito de que cooperara con Platón; y durante una de las ausencias de Platón parece que incluso fungió como director de la Academia. Arquitas, el inventor de la ciencia mecánica, era amigo de Platón con quien se escribía.

En las matemáticas, el nombre de Platón está vinculado con los sólidos platónicos. En el Timeo está la construcción matemática de los elementos (tierra, fuego, aire y agua), en los cuales el cubo, el tetraedro, el octaedro y el icosaedro son tomados como las formas de los átomos de tierra, fuego, aire y agua. El quinto sólido platónico, el dodecaedro, es el modelo de Platón para la totalidad del universo.

Las creencias de Platón en lo que al universo concierne, eran que las estrellas, los planetas, el sol y la luna se mueven alrededor de la tierra en esferas cristalinas. La esfera de la luna era la más cercana a la tierra, luego seguía la del sol, después la de Mercurio, Venus, Marte, Júpiter, Saturno y mucho más lejos estaba la esfera de las estrellas. Creía que la luna brillaba por efecto del reflejo de la luz solar.

Quizás la mejor idea sobre los conceptos de Platón puede obtenerse de examinar lo que él creía que debería de ser el curso adecuado de la educación. Ésta es su propuesta[61]:

... , en primer lugar, tendrían que estudiarse las ciencias exactas – aritmética, geometría plana y sólida, astronomía y armonía – durante diez años para familiarizar la mente con las relaciones que solamente pueden aprehenderse por el pensamiento. Después se darían cinco años para el estudio, aun más severo de la ‘dialéctica’. La dialéctica es el arte de la conversación, de preguntar y responder; y de acuerdo con Platón, la habilidad dialéctica es la capacidad de plantear y responder preguntas sobre la esencia de las cosas. El dialéctico reemplaza hipótesis con conocimiento seguro, y su propósito es aterrizar toda la ciencia, todo el conocimiento, sobre algún ‘principio primero no hipotético’.

La Academia de Platón floreció hasta 529 DC cuando fue cerrada por el Emperador Cristiano Justiniano, quien aseguraba que era un establecimiento pagano. Después de sobrevivir por 900 años, es la Universidad más longeva que se conoce.

Basado en un artículo de  J. J. O'Connor y E. F. Robertson

Poincaré, Henri.Nació el 29 de abril de 1854 en Nancy, Lorena, Francia, y murió el 17 de julio de 1912 en París, Francia. Su padre fue Léon Poincaré y su madre fue Eugénie Launois. Tenían 26 y 24 años de edad, respectivamente, al momento del nacimiento de Henri, quien nació en Nancy, donde su padre era Profesor de Medicina en la Universidad. La familia de Léon Poincaré produjo otros hombres distinguidos durante la vida de Henri. Raymond Poincaré, quien fue primer ministro de Francia varias veces y presidente de la República Francesa durante la Primera Guerra Mundial, era el hijo mayor de Antoine Poincaré, hermano de Léon Poincaré. El segundo de los hijos de Antoine Poincaré, Lucien Poincaré, alcanzó un alto rango en la administración de la Universidad.

Henri era [2][62]:

... ambidiestro y miope; durante su infancia tuvo una pobre coordinación muscular y por un tiempo estuvo seriamente enfermo de difteria. Recibió instrucción especial de su muy dotada madre y alcanzó niveles de excelencia en composición escrita cuando aún estaba en la escuela elemental.

En 1862 Henri entró al Liceo en Nancy (que ahora lleva el nombre Lycée Henri Poincaré en su honor). Pasó once años en el Liceo, tiempo durante el cual demostró ser uno de los mejores alumnos en todas las materias que cursó. Henri era descrito por su maestro de matemáticas como un “monstruo de las matemáticas” y ganó premios en el llamado “concours général”, una competencia entre los mejores alumnos de todos los liceos de Francia.

Poincaré ingresó en la École Polytechnique en 1873 y se graduó en 1875. Estaba mucho más adelantado que todos los demás estudiantes en matemáticas pero, quizás no sorprendentemente, dada su pobre coordinación, no tenía un desempeño mejor que el promedio en ejercicio físico y en arte. La música era otro de sus intereses, pero aunque disfrutaba escuchándola, sus intentos por aprender a tocar el piano durante su estancia en la École Polytechnique no tuvieron éxito. Poincaré leía muchísimo, empezando por textos de ciencia popular y de ahí hacia textos más avanzados. Tenía una notable memoria y retenía mucho de los textos que leía, mas no aprendiendo de memoria, sino relacionando las ideas que asimilaba particularmente en forma visual. Su habilidad de visualizar lo que escuchaba le resultó particularmente útil cuando asistía a conferencias, ya que su vista era tan pobre que no podía leer adecuadamente lo que se escribía en el pizarrón.

Después de graduarse de la École Polytechnique, Poincaré continuó sus estudios en la École des Mines. Sus [20][63]:

...meticulosas notas, tomadas en las excursiones de campo cuando era estudiante, exhibían un conocimiento profundo de los métodos científicos y comerciales de la industria de la minería; un tema que siempre le interesó a lo largo de toda su vida.

Después de terminar sus estudios en la École des Mines, Poincaré pasó un corto periodo como ingeniero minero en Vesoul, mientras concluía su tesis doctoral. Como estudiante de Charles Hermite, Poincaré obtuvo su doctorado en matemáticas de la Universidad de París en 1879. Su tesis versó sobre ecuaciones diferenciales y los examinadores fueron un tanto críticos con el trabajo. Elogiaron los resultados del principio de la tesis pero después informaron que (véase por ejemplo[20]):

...el resto de la tesis es un poco confuso y muestra que el autor todavía no era capaz de expresar sus ideas de manera clara y simple. Sin embargo, considerando la gran dificultad del tema y el talento demostrado, la facultad recomienda que a M. Poincaré se le otorgue el grado de Doctor con todos los privilegios.

Inmediatamente después de recibir su doctorado, se le encargó a Poincaré la enseñanza de análisis matemático en la Universidad de Caen. Los informes sobre su enseñanza en Caen no eran del todo elogiosos, y hacían referencia a su estilo de enseñar, en ocasiones, desorganizado. Se quedó ahí por sólo dos años antes de obtener una cátedra en la Facultad de Ciencias en París en 1881. En 1886, Poincaré fue nominado para la cátedra de física matemática y probabilidad en la Sorbona. Gracias a la intervención y el apoyo de Hermite se le aseguró a Poincaré la cátedra y también se le otorgó una cátedra en la École Polytechnique. En sus clases a los estudiantes en París[64]:

...al cambiar sus clases cada año, revisaba temas de óptica, electricidad, el equilibrio de masas fluidas, las matemáticas de la electricidad, la astronomía, la termodinámica, la luz y la probabilidad.

Poincaré conservó estas cátedras en París hasta su muerte a la temprana edad de 58.

Antes de revisar brevemente las muchas contribuciones de Poincaré a las matemáticas y a otras ciencias, tenemos que decir un poco acerca de su modo de pensar y de trabajar. Se le considera como uno de los grandes genios de todos los tiempos y hay dos fuentes muy significativas que estudian sus procesos de pensamiento. Una es una conferencia que dio al Institut Général Psychologique en París en 1908, titulada Invención Matemática, en la cual revisaba sus propios procesos de pensamiento que lo condujeron a sus mayores descubrimientos matemáticos. La otra es el libro de Toulouse[65], que era el director del Laboratorio de Psicología de la École des Hautes Études en París. Aunque fue publicado en 1910, el libro hace un recuento de conversaciones con Poincaré y pruebas sobre él que efectuó Toulouse en 1897.

Toulouse[66] explica que Poincaré mantenía horarios de trabajo muy precisos. Se dedicaba a la investigación matemática durante cuatro horas diarias, entre las 10 de la mañana y el mediodía y de nuevo de las 5 a las 7 de la tarde. Leía artículos en revistas más tarde en la noche. Un aspecto interesante de la obra de Poincaré es su tendencia a desarrollar sus resultados de principios básicos. Para muchos matemáticos hay un proceso constructivo con más y más obra construida sobre obra previa. No era ésta la forma en la que trabajaba Poincaré, sino que no sólo su investigación, sino también sus conferencias y sus libros se desarrollaban cuidadosamente desde lo básico. Quizás lo más notable de todo lo señala la descripción de Toulouse[67] de cómo Poincaré procedía a escribir un artículo:

...no hace un plan global cuando escribe un artículo. Normalmente comenzará sin saber dónde terminará. ... El comienzo es normalmente fácil. Entonces el trabajo parece irlo llevando sin que él haga un esfuerzo voluntario. En esa etapa es difícil distraerlo. Cuando investiga, a menudo escribe una fórmula automáticamente para despertar alguna asociación de ideas. Si el comienzo es doloroso, Poincaré no persiste y más bien abandona el trabajo.

Toulouse continúa describiendo cómo Poincaré esperaba que le vinieran las ideas claves cuando dejaba de concentrarse en el problema:

Poincaré procede por golpes repentinos, tomando y luego abandonando un tema. Durante intervalos supone ... que su inconsciente continúa el trabajo de reflexión. Detener el trabajo es difícil si no hay una distracción suficientemente fuerte, especialmente cuando juzga que no lo ha completado ... Por esta razón, Poincaré nunca hace trabajo importante en la noche para evitar la dificultad de conciliar el sueño.

Como Miller hace notar[68]:

Es increíble que no pudiera trabajar plenamente página tras página de cálculos detallados, ya sea que se tratase de cálculos de la naturaleza matemáticamente más abstracta, o de puros cálculos numéricos, como eran frecuentes en física, casi sin nunca tachar nada.

Examinemos algunos de los descubrimientos que hizo Poincaré con su método de trabajo. Poincaré era un científico preocupado por muchos aspectos de las matemáticas, la física y la filosofía, y frecuentemente es descrito como el último universalista en matemáticas. Hizo contribuciones a numerosas ramas de las matemáticas, la mecánica celeste, la mecánica de fluidos, la teoría especial de la relatividad y la filosofía de la ciencia. Mucha de su investigación involucraba interacciones entre diferentes temas matemáticos y su amplio entendimiento de todo el espectro del conocimiento le permitía atacar problemas desde muy diferentes ángulos.

Antes de alcanzar los 30 años desarrolló el concepto de funciones automorfas que son funciones de una variable compleja invariante bajo la acción de un grupo de  transformaciones caracterizado algebraicamente por cocientes de términos lineales. La idea era pasar de una manera indirecta sobre su trabajo en la tesis doctoral sobre ecuaciones diferenciales. Sus resultados se aplicaban solamente a clases restringidas de funciones y Poincaré deseaba generalizar estos resultados, pero como una ruta hacia esto, analizó una clase de ecuaciones cuyas soluciones no existían. Esto lo condujo a funciones que él llamó funciones fuchsianas en honor a Lazarus Fuchs, pero después fueron llamadas funciones automorfas. La idea crucial le vino cuando estaba por coger un autobús, como lo relata en Ciencia y Método (1908):

En el momento de poner mi pié en el estribo me vino la idea, sin que nada en mis pensamientos previos pareciese haber asfaltado la ruta hacia ella, de que las transformaciones que había yo usado para definir las funciones fuchsianas fueran idénticas a aquéllas de la geometría no euclidiana.

En correspondencia entre Klein y Poincaré se intercambiaron muchas ideas profundas de las que el desarrollo de la teoría de las funciones automorfas se vio muy beneficiado. Sin embargo, los dos grandes matemáticos no quedaron en buenos términos, pues parecía que Klein se sintió molesto por la buena opinión de Poincaré sobre la obra de Fuchs. Rowe examina esta correspondencia[69].

El Analysis situs de Poincaré, publicado en 1895, es uno de los primeros tratados sistemáticos de la topología. Puede decirse que él es el creador de la topología algebraica y, en 1901, aseguraba que sus investigaciones en muchas áreas diferentes tales como las ecuaciones diferenciales y las integrales múltiples lo habían conducido hacia la topología. Por 40 años después de que Poincaré publicó los primeros de los seis artículos sobre topología algebraica en 1894, esencialmente todas las ideas y técnicas en el tema se basaban en su trabajo. Incluso hoy en día la conjetura de Poincaré permanece como uno de los problemas no resueltos más desconcertantes y desafiantes de la topología algebraica.

La teoría de homotopía reduce cuestiones topológicas al álgebra asociando a los espacios topológicos varios grupos que son invariantes algebraicos. Poincaré introdujo el grupo fundamental (o primer grupo de homotopía) en su artículo de 1894 para distinguir diferentes clases de superficies bidimensionales. Pudo demostrar que cualquier superficie bidimensional con el mismo grupo fundamental de la  superficie esférica bidimensional es topológicamente equivalente a una esfera. Conjeturó que este resultado valía igualmente para variedades tridimensionales lo que posteriormente se extendió a dimensiones superiores. Sorprendentemente se conocen pruebas para el equivalente de la conjetura de Poincaré para todas las dimensiones estrictamente mayores que tres. No se conoce un esquema de clasificación completa para las 3-variedades, por lo que no hay una lista de posibles variedades que puedan ser verificadas para confirmar si todas tienen diferentes grupos de homotopía.

A Poincaré se le considera también el creador de la teoría de las funciones analíticas de varias variables complejas. Comenzó con sus contribuciones al tema en 1883 con un trabajo en el que usaba el principio de Dirichlet para probar que una función meromorfa de dos variables complejas es cociente de dos funciones enteras. También trabajó en geometría algebraica e hizo contribuciones fundamentales en artículos que escribió entre 1910 y 1911. Examinó curvas algebraicas sobre una superficie algebraica F(x,y,z) = 0 y desarrolló métodos que le permitían dar pruebas sencillas de resultados profundos de Emile Picard y de Severi. Dio la primera demostración correcta de un resultado formulado por Castelnuovo, Enriques y Severi; estos autores habían sugerido un método de demostración equivocado.

Su primera contribución importante en la teoría de números fue hecha en 1901 con un trabajo[70] sobre:

... el problema diofantino de encontrar los puntos con coordenadas racionales sobre una curva f(x,y) = 0, cuyos coeficientes son números racionales.

En matemáticas aplicadas estudió óptica, electricidad, telegrafía, capilaridad, elasticidad, termodinámica, teoría del potencial, teoría cuantitativa, teoría de la relatividad y cosmología. En el campo de la mecánica celeste estudió el problema de los tres cuerpos, así como las teorías de la luz y de las ondas electromagnéticas. Se le reconoce como codescubridor, con Albert Einstein y Hendrik Lorentz, de la teoría de la relatividad especial. Hemos de describir con un poco más detalles el importante trabajo de Poincaré sobre el problema de los tres cuerpos.

Oscar II, Rey de Suecia y Noruega, organizó una competencia matemática en 1887 para celebrar su sexagésimo cumpleaños en 1889. Poincaré recibió el premio por una memoria que envió sobre el problema de los tres cuerpos en mecánica celeste. En este trabajo Poincaré dio la primera descripción de puntos homoclínicos, la primera descripción matemática del movimiento caótico, y fue el primero en hacer uso importante de la idea de integrales invariantes. Sin embargo, cuando el trabajo estaba a punto de ser publicado en Acta Matematica, Phragmen, quien editaba la memoria para su publicación, encontró un error. Poincaré se dio cuenta de que en verdad había cometido un error y Mittag-Leffler hizo denodados esfuerzos para evitar la publicación de la versión incorrecta de la memoria. Entre marzo de 1887 y julio de 1890 Poincaré y Mittag-Leffler intercambiaron cincuenta cartas fundamentalmente relacionadas con la competencia del cumpleaños, la primera de las cuales era de Poincaré diciéndole a Mittag-Leffler que trataba de enviar una participación al concurso y, por supuesto, las demás discuten el problema concerniente al error. Es interesante que este error es hoy en día considerado como el comienzo de la teoría del caos. En 1890 apareció una versión revisada de la memoria de Poincaré.

Entre otras obras importantes de Poincaré sobre mecánica celeste se incluye Les Méthodes nouvelles de la méchanique celeste (Nuevos Métodos en Macánica Celeste) en tres volúmenes publicados entre 1892 y 1899,  y Leçons de mecanique celeste (Lecciones de Mecánica Celeste 1905). En los primeros de éstos tuvo el objetivo de caracterizar completamente todos los movimientos de los sistemas mecánicos, invocando una analogía con los flujos fluidos. También mostró que las expansiones en series previamente usadas para estudiar el problema de tres cuerpos eran convergentes, pero en general no uniformemente convergentes, poniendo así en duda las demostraciones de estabilidad de Lagrange y Laplace.

También escribió muchos artículos de divulgación científica en un momento en el que la ciencia no era un tema popular entre el público general en Francia. Whitrow escribe[71]:

Después de que Poincaré alcanzó un prestigió como matemático, dedicó sus extraordinarias dotes literarias al desafío de escribir para el público general el significado y la importancia de la ciencia y las matemáticas.

Las obras de divulgación de Poincaré incluyen Ciencia e Hipótesis (1901), El Valor de la Ciencia (1905) y Ciencia y Método (1908). Una cita de estos escritos es particularmente relevante para la historia de las matemáticas. En 1908 escribió:

El verdadero método para predecir el futuro de las matemáticas es estudiar su historia y su estado actual.

Finalmente veamos las contribuciones de Poincaré a la filosofía de las matemáticas y la ciencia. Lo primero que hay que resaltar es la forma cómo Poincaré visualizaba la lógica y la intuición como elementos importantes en el descubrimiento matemático. En Definiciones Matemáticas en Educación (1904) escribió:

Es por la lógica que demostramos, es por la intuición que inventamos.

En un artículo Poincaré ponía otra vez énfasis en el punto de la siguiente forma:

La lógica, por tanto, permanece estéril a menos que se la fertilice con la intuición.

McLarty[72] da ejemplos de cómo Poincaré no se tomaba la molestia de ser riguroso. El buen éxito de su enfoque de las matemáticas yace en su apasionada intuición. Sin embargo, la intuición no era para Poincaré algo que utilizara cuando no podía encontrar una demostración lógica. Más bien creía él que los argumentos formales pueden revelar errores de intuición y la argumentación lógica es la única forma de confirmar las ocurrencias intuitivas. Poincaré creía que la demostración formal por sí misma no puede conducir al conocimiento. Éste sólo proviene del razonamiento matemático con contenido, y no sólo de argumentos formales.

Es razonable preguntarse qué entendía Poincaré por “intuición”. Esto no es simple, puesto que él veía algo bastante diferente entre su trabajo en física y su trabajo en matemáticas. En física consideraba que la intuición dictaba cómo encapsular matemáticamente lo que sus sentidos le decían sobre el mundo. Pero para explicar lo que “intuición” era en matemáticas, a Poincaré le daba por decir que era la parte que no se obtenía a partir de la lógica:

... para hacer geometría ... es necesario algo más que lógica pura. Para describir este “algo” no hay otra palabra que intuición.

Poincaré vuelve al punto cuando escribe una revisión de los Fundamentos de la  geometría de Hilbert (1902):

El punto de vista lógico por sí solo parece interesarle [a Hilbert]. Dada una secuencia de proposiciones, encuentra que todas se obtienen lógicamente de la primera. Él no se preocupa de los fundamentos de esta primera proposición, ni de su origen psicológico.

No se trata, sin embargo, de dar la impresión de que ésta fuese una revisión negativa; el punto de vista de Poincaré respecto de este trabajo de Hilbert era muy positivo. Stump[73] explora el significado de intuición para Poincaré y de la diferencia entre las formas matemáticamente aceptables y las no aceptables.

Poincaré creía que se podía elegir ya fuera la geometría euclidiana o la no euclidiana como la geometría del espacio físico. Pensaba que al ser ambas geometrías topológicamente equivalentes, podían trasladarse propiedades de una a la otra, de modo que ninguna era correcta o falsa. Por esta razón argumentaba que la geometría euclidiana sería preferida por los físicos. Esto, sin embargo, no ha resultado ser un punto de vista muy correcto y la evidencia experimental muestra ahora claramente que el espacio físico es no euclidiano.

Poincaré tenía toda la razón, sin embargo, en sus críticas a aquéllos que como B. Russell deseaban axiomatizar las matemáticas, pues estaban condenados al fracaso. El principio de inducción matemática, decía Poincaré, no puede deducirse lógicamente. También aseguraba que sería imposible probar que la aritmética es consistente, si se la define por un sistema de axiomas, como Hilbert lo había hecho. Estas afirmaciones de Poincaré a la larga resultaron correctas.

Debemos hacer notar que, a pesar de su gran influencia en las matemáticas de su época, Poincaré nunca fundó una escuela propia, pues no tuvo estudiantes. Aunque sus contemporáneos usaban sus resultados, rara vez adoptaban sus técnicas.

Poincaré obtuvo los más altos honores por sus contribuciones de verdadero genio. Fue nombrado miembro de la Académie des Sciences en 1887 y en 1906 fue elegido Presidente de la Academia. La amplitud de su investigación lo llevó a ser el único miembro elegido para pertenecer a cada una de las cinco secciones de la Academia, a saber, las secciones de geometría, mecánica, física, geografía y navegación. En 1908 resultó electo como miembro de la Académie Française y fue elegido director durante el año de su muerte. También fue investido caballero de la Legión de Honor y fue honrado con un gran número de sociedades eruditas de todo el mundo. Ganó numerosos premios, medallas y reconocimientos.

Basado en un artículo de  J. J. O'Connor y E. F. Robertson

Taniyama, Yutaka.Nació el 12 de noviembre de 1927 en Kisai (al norte de Tokyo), Japón, y murió el 17 de noviembre de 1958 en Tokyo, Japón. Se graduó en la Universidad de Tokyo en 1953. Permaneció ahí como ‘estudiante especial de investigación’, y después como profesor asociado.

Sus intereses estaban en la teoría algebraica de números. Escribió Teoría Moderna de Números (1957) en japonés, conjuntamente con G. Shimura. Aunque planearon una versión en inglés, perdieron el entusiasmo y nunca encontraron tiempo para escribirla antes de la muerte de Taniyama. Sin embargo, ellos mismos dieron probablemente la razón en el prefacio de 1957:

Encontramos difícil afirmar que la teoría esté presentada de una forma completamente satisfactoria. En todo caso, puede decirse que se nos ha permitido en el curso del progreso escalar a cierta altura para poder mirar las huellas que dejamos atrás y entonces poder tener una visión de nuestro destino.

La fama de Taniyama es fundamentalmente debida a dos problemas planteados por él en el simposio sobre Teoría Algebraica de Números que hubo en Tokyo en 1955. (Su reunión con H. Weil en este simposio tuvo una influencia importante en la obra de Taniyama.) Estos problemas forman la base de una conjetura: toda curva elíptica definida sobre el campo de los racionales es un factor del Jacobiano de un campo de funciones modulares. Esta conjetura resultó ser un factor central en la prueba de Wiles del Último Teorema de Fermat.

Con un aparente gran futuro frente a sí, tanto en las matemáticas como en su vida personal, (planeaba casarse) se quitó la vida. En una nota que dejó, tuvo gran cuidado en describir exactamente hasta dónde había llegado en los cursos de cálculo y álgebra lineal que estaba impartiendo, así como también en disculparse ante sus colegas por el problema que su muerte les causaría. En cuanto a la razón para quitarse la vida dice:

Hasta ayer no tenía yo definida la intención de matarme. ...Yo mismo no lo entiendo bien, pero no es el resultado de un incidente particular, ni de un asunto específico.

Alrededor de un mes después, la chica con la que planeaba casarse también se suicidó.

Basado en un artículo de  J. J. O'Connor y E. F. Robertson

Wiles, Andrew.  Nació el 1 de abril de 1953 en Cambridge, Inglaterra. Su interés en el Último Teorema de Fermat comenzó a una edad temprana. Nos cuenta

...tenía diez años de edad y un día andaba mirando en mi biblioteca pública local y encontré un libro sobre ‘mate’ que platicaba un poco de la historia de este problema, y yo, con diez años de edad, pude entenderlo. Desde ese momento traté de resolverlo yo mismo; era un gran desafío, un problema tan bonito, este problema era el Último Teorema de Fermat.

En 1971, Wiles ingresó al Merton College, en Oxford, y se graduó con un B.A. en 1974. Después ingresó al Clare College, en Cambridge para hacer su doctorado. Su supervisor doctoral en Cambridge era John Coates quien dijo:

He sido muy afortunado de haber tenido a Andrew como estudiante. Incluso como estudiante de investigación era él una persona maravillosa con quien colaborar, tenía ideas muy profundas y siempre tuvo muy claro que era un matemático que haría grandes cosas.

Wiles no trabajó sobre el Último Teorema de Fermat para su doctorado. Decía:

...el problema de trabajar sobre Fermat es que puedes pasarte años sin obtener nada, así que cuando me fui a Cambridge mi asesor John Coates estaba trabajando sobre la teoría de Iwasawa de curvas elípticas y yo comencé a trabajar con él...

De 1977 hasta 1980 Wiles fue un Junior Research fellow en el Clare College, de Cambridge, y también un Profesor Asistente ‘Benjamin Peirce’ en la Universidad de. Harvard. En 1980 obtuvo su doctorado, después pasó un tiempo en el Sonderforschungsbereich Theoretische Mathematik en Bonn. Regresó a los Estados Unidos hacia fines de 1981 para ocupar un puesto en el Instituto para Estudios Avanzados, en Princeton. Fue nombrado profesor en Princeton al año siguiente y, también durante 1982, pasó una temporada como profesor visitante en París.

Wiles obtuvo una beca Guggenheim que le permitió visitar el Institut des Hautes Études Scientifiques, en París, y también la École Normale Supérieure, en París, durante 1985-86.  Después ocurrieron los sucesos que lo hicieron cambiar la dirección de su investigación.

En efecto, Wiles abandonó toda la demás investigación cuando supo la relación del Último Teorema de Fermat y la Conjetura de Taniyama-Shimura, y se concentró exclusivamente en intentar probarla, al saber que con ello obtendría la prueba del Último Teorema de Fermat. Wiles dijo:

...después de algunos años me di cuenta de que era imposible hablar con la gente casualmente acerca de Fermat puesto que generaba demasiado interés y no te puedes enfocar por años, a menos que tengas esa clase de concentración indivisa, que demasiados espectadores destruirían...

De hecho, la vida matrimonial era para Wiles un asunto bastante restringido; solía decir:

...mi esposa sólo me ha conocido mientras he trabajado sobre Fermat. Le dije unos cuantos días después de que nos casamos, que realmente sólo tenía tiempo para mi problema y para mi familia, y mientras tenía que concentrarme muchísimo, me di cuenta con los niños pequeños de que esa era la mejor manera de relajarse. Al hablar con los pequeños, ellos simplemente no están interesados en Fermat...

En 1988 Wiles se fue a la Universidad de Oxford, donde estuvo durante dos años como Profesor Investigador de la Real Sociedad. Mientras estaba en Oxford fue elegido, en 1989, Caballero de la Real Sociedad. En una biografía[74] se describe el curso de su investigación:

Haciendo uso de la teoría de representaciones de Galois, de Mazur, resultados recientes sobre la conjetura de Serre sobre la modularidad de las representaciones de Galois, y profundas propiedades aritméticas de las álgebras de Hecke, Wiles (con un paso clave debido conjuntamente a Wiles y R. Taylor) tuvo éxito en probar que todas las  curvas elípticas semiestables definidas sobre el campo de los números racionales son modulares. Aunque esto es menos que la plena conjetura de Shimura-Taniyama, este resultado implica que una curva elíptica obtenida a partir de la ecuación generalizada de Fermat es modular, y con ello queda probado el Último Teorema de Fermat.

Toda la ruta seguida para llegar a la prueba no fue para nada simple. En 1993 Wiles les dijo a otros dos matemáticos que estaba cerca de encontrar una prueba del Último Teorema de Fermat. Llenó las que él pensaba que eran las últimas lagunas en la prueba y dio la serie de conferencias en el Instituto Isaac Newton, en Cambridge, concluyéndolas el 23 de junio de 1993. Al final de su última plática anunció que tenía una prueba para el Último Teorema de Fermat. Sin embargo, al quedar escritos los resultados para su publicación, un sutil error fue descubierto. Dice Wiles:

... de los primeros siete años en que había yo trabajado en este problema adoro cada minuto, no obstante cuán difícil haya sido éste. Ha habido retrocesos, cosas que parecían insuperables, pero era una especie de batalla privada y muy personal en la que estaba yo involucrado, y cuando aparecía un problema con ella, hacer matemáticas en esa especie de forma bastante sobreexpuesta no es, ciertamente, mi estilo; ciertamente, no tengo ganas de repetirlo...

Wiles trabajó duro por alrededor de un año, con la ayuda, en particular, de R. Taylor a la que ya se hizo referencia antes, y para el 19 de septiembre de 1994, cuando ya casi se había dado por vencido, decidió hacer un último intento:

...de repente, de forma totalmente inesperada, tuve esta increíble revelación. Fue el momento más importante de mi vida de trabajo. Nada que vaya a poder volver a hacer ... fue tan indescriptiblemente hermoso, fue tan simple y tan elegante, y yo sólo me quedé contemplando  incrédulo por veinte minutos, luego durante el día caminé por el Departamento. Regresaba a mi escritorio para ver si todavía estaba ahí – ahí estaba todavía.

En 1994 Wiles fue nombrado Profesor ‘Eugene Higgins’ de Matemáticas en Princeton. Su artículo que prueba el Último Teorema de Fermat es Modular elliptic curves and Fermat’s Last Theorem,que apareció en los Annals of Mathematics en 1995. Desde 1995 Wiles comenzó a recibir muchos honores por su sobresaliente obra. Le otorgaron el Premio Schock en Matemáticas de la Real Academia Sueca de Ciencias y el Premio Fermat de la Université Paul Sabatier. En 1996 recibió otros reconocimientos que incluyen el Premio Wolf y fue nombrado miembro correspondiente de laNational Academy of Sciences de los Estados Unidos, de la que recibió su premio para matemáticas.

Wiles decía:

...no hay otro problema que vaya a significar lo mismo para mí. Tuve este raro privilegio de ser capaz de alcanzar en mi edad adulta lo que había sido el sueño de mi infancia. Sé que es un raro privilegio pero sé que si se puede hacer, es más gratificante que ninguna otra cosa que uno pueda imaginarse.

En la biografía citada[75] se resume su trabajo:

La obra de Wiles es altamente original, un tour de force técnico y un monumento a la perseverancia individual.

Basado en un artículo de  J. J. O'Connor y E. F. Robertson

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[1] Michael F. Atiyah, en M. Atiyah and D. Iagolnitzer (eds.), Fields Medalists Lectures (Singapur, 1997), 113-114

[2] H. Cartan, L'oeuvre de Michael F. Atiyah, Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Moscow, 1966 (Moscow, 1968).

[3] Michael F. Atiyah, en M. Atiyah and D. Iagolnitzer (eds.), Fields Medalists Lectures (Singapur, 1997), 113-114

[4] M. Atiyah, On the work of Simon Donaldson, Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Berkeley, 1986 1 (Providence, RI, 1987), 3-6

[5] M. Atiyah, On the work of Simon Donaldson, Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Berkeley, 1986 1 (Providence, RI, 1987), 3-6

[6] R. Stern y G. Tian, Donaldson and Yau receive Crafoord prize, Notices Amer. Math. Soc. 41 (7) (1994), 794-796

[7] Véase su biografía en Dictionary of Scientific Biography (New York 1970-1990).

[8] R. Calinger, Leonhard Euler: The first St Petersburg years (1727-1741), Historia Mathematica 23 (1996), 121-166

[9] Biografía en Dictionary of Scientific Biography (New York 1970-1990).

[10] R. Thiele, Leonhard Euler (Leipzig,1982)

[11] Biografía en Dictionary of Scientific Biography (New York 1970-1990)

[12] Leonhard Euler 1707-1783 : Beiträge zu Leben und Werk (Basel-Boston, 1983)

[13] M. S. Mahoney, The Mathematical Career of Pierre de Fermat (1601-1665) (Princeton, 1994)

[14] Biografía en Encyclopaedia Britannica

[15] Véase su biografía en Dictionary of Scientific Biography (New York 1970-1990

[16] Véase su biografía en Dictionary of Scientific Biography (New York 1970-1990

[17] Encyclopaedia Britannica

[18] Dictionary of Scientific Biography (New York 1970-1990)

[19] Michael H. Freedman awarded 1986 Veblen Prize, Notices Amer. Math. Soc. 33 (2) (1986), 227-228

[20] Michael H Freedman awarded 1986 Veblen Prize, Notices Amer. Math. Soc. 33 (2) (1986), 227-228

[21] D. E. Rowe, Klein, Hilbert, and the Göttingen mathematical tradition, Osiris (2) 5 (1989), 186-213

[22]El Programa de Erlangen, traducción del original alemán de C. Prieto, Mathesis 11 (1995) 331-370

[23] Biografía en Dictionary of Scientific Biography (New York 1970-1990)

[24] D. E. Rowe, Klein, Hilbert, and the Göttingen mathematical tradition, Osiris (2) 5 (1989), 186-213

[25] Biografía en Dictionary of Scientific Biography (New York 1970-1990)

[26] Biografía en Dictionary of Scientific Biography (New York 1970-1990).

[27] Op. cit.

[28] Biografía en Dictionary of Scientific Biography (New York 1970-1990)

[29] B Mandelbrot, Comment j'ai decouvert les fractales, La Recherche (1986), 420-424

[30] P. Clark, Presentation of Professor Benoit Mandelbrot for the Honorary Degree of Doctor of Science (St Andrews, 23 June 1999)

[31] P Clark, Presentation of Professor Benoit Mandelbrot for the Honorary Degree of Doctor of Science (St Andrews, 23 June 1999)

[32] R. Baltzer, F. Klein y W. Schiebner (eds.), August Möbius, Gesammelte Werke (Leipzig, 1885-87)

[33] Aunque en realidad nació el día de Navidad de 1642 según el calendario Juliano, el 4 de enero de 1643 es la fecha anotada en su acta, que corresponde a la del calendario Gregoriano, que no se adoptó en Inglaterra hasta 1752.

[34] D. Adamson, Blaise Pascal : mathematician, physicist and thinker about God (Basingstoke, 1995

[35] D. Adamson, Blaise Pascal : mathematician, physicist and thinker about God (Basingstoke, 1995

[36] Porfirio, Vita Pythagorae (Leipzig, 1886)

[37] Porphyry, Life of Pythogoras in M Hadas and M Smith, Heroes and Gods (London, 1965)

[38] Iamblichus, Life of Pythagoras (translated into English by T Taylor) (London, 1818)

[39] Diogenes Laertius, Lives of eminent philosophers (New York, 1925)

[40] Porfirio, Vita Pythagorae (Leipzig, 1886)

[41] Porphyry, Life of Pythogoras in M Hadas and M Smith, Heroes and Gods (London, 1965)

[42] Iamblichus, Life of Pythagoras (translated into English by T Taylor) (London, 1818)

[43] Diogenes Laertius, Lives of eminent philosophers (New York, 1925)

[44] Iamblichus, Life of Pythagoras (traducido al inglés por  T. Taylor) (London, 1818)

[45] Biografía en Encyclopaedia Britannica

[46] R. S. Brumbaugh, The philosophers of Greece (Albany, N.Y., 1981)

[47] R. S. Brumbaugh, The philosophers of Greece (Albany, N.Y., 1981)

[48] T. L. Heath, A history of Greek mathematics 1 (Oxford, 1931).

[49] T. L. Heath, A history of Greek mathematics 1 (Oxford, 1931)

[50] Biografía en Encyclopaedia Britannica

[51] R. S. Brumbaugh, The philosophers of Greece (Albany, N.Y., 1981).

[52] Iamblichus, Life of Pythagoras (translated into English by T. Taylor) (London, 1818)

[53] P. Gorman, Pythagoras, a life (1979)

[54] Biografía en Encyclopaedia Britannica

[55] C. J. Rowe, Plato (1984)

[56] G. C. Field, The philosophy of Plato (Oxford, 1956)

[57] G. C. Field, The philosophy of Plato (Oxford, 1956)

[58] op. cit.

[59] G. C. Field, The philosophy of Plato (Oxford, 1956)

[60] Biografía en Encyclopaedia Britannica

[61] op. cit.

[62] Biografía en la Encyclopaedia Britannica

[63] A I Miller, Insights of genius : Imagery and creativity in science and art (New York, 1996).

[64] Biografía en la Encyclopaedia Britannica

[65] E Toulouse, Henri Poincaré (Paris, 1910)

[66] op. cit.

[67] E Toulouse, Henri Poincaré (Paris, 1910)

[68] A I Miller, Insights of genius : Imagery and creativity in science and art (New York, 1996).

[69] D E Rowe, Klein, Mittag-Leffler, and the Klein-Poincaré correspondence of 1881-1882, Amphora (Basel, 1992), 597-618

[70] Biografía en Dictionary of Scientific Biography (New York 1970-1990).

[71] Biografía en la Encyclopaedia Britannica

[72] C. McLarty, Poincaré : mathematics & logic & intuition, Philos. Math. (3) 5 (2) (1997), 97-115

[73] D. J. Stump, Henri Poincaré's philosophy of science, Stud. Hist. Philos. Sci. 20 (3) (1989), 335-363

[74] Biografía en la Encyclopaedia Britannica

[75] Biografía en la Encyclopaedia Britannica

Fuente: http://www.matem.unam.mx/cprieto/Biografias.htm