Amigos lectores: En esta página iremos colocando frases celebres relacionados con la matemáica y la ciencia. Tambien articulos de difusion cientifica o de fenomenos inexplicables hasta el moento. Por lo tanto, espero me estén visitando.
Otro link interesante es: Asesorias Académicas
Hasta principios del siglo XX, la Física la más rigurosa e importante de las Ciencias, se situaba en la certeza de la predicción de todos los fenómenos. A pesar de los antecedentes de Poincaré en el siglo XIX sobre el problema de los tres cuerpos, donde se expresa que sólo podemos tener una “aproximación” del efecto entre ellos y que la predicción se vuelve imposible, se ignora tal postura y se continúa en la misma línea hasta el inicio de la “Revolución de la Física”. Hacia finales del siglo XIX, aparecieron unos problemas que no parecían encontrar solución dentro del marco científico existente: eran llamados “el problema del éter” y la “catástrofe ultravioleta”. Estos problemas llevaron a la Física a una revolución que desembocó en la Teoría de la Relatividad por un lado, y la Mecánica Cuántica, por el otro. Ambas teorías parecen desafiar el sentido común al proponer que el tiempo es relativo o que existen partículas virtuales llenando el Universo.
La
Mecánica Cuántica, en particular, postuló un principio devastador para
la fe del científico en la posibilidad de hacer predicciones de todo; en
pocas palabras, el Principio de Incertidumbre de Heisenberg afirma que
nunca es posible tener mediciones exactas: sólo se podrán hacer
aproximaciones, es entonces que se retoman las consecuencias del
descubrimiento de Poincaré y se observa que las variables pueden
desarrollar un comportamiento caótico, complicado e impredecible pero
dentro de un orden geométrico observable. Es así que, a partir de este
enfoque, se empieza a desarrollar la “Teoría de Caos”, aportando un
paradigma donde los problemas científicos pueden resolverse desde esta
nueva óptica.
Hay
muchas ideas falsas sobre el caos, según las cuales la Teoría del Caos
es un tratado del desorden. Nada más lejos de la verdad. Es cierto que
la Teoría dice que cambios pequeños pueden causar cambios enormes, pero
no dice que no hay orden absolutamente. Una de las ideas principales es
que mientras es casi imposible predecir exactamente el estado futuro de
un sistema, es posible, y aún más, muchas veces fácil, modelar el
comportamiento general del sistema. Para ilustrar lo anterior es
necesario describir el trabajo pionero de un meteorólogo del Instituto
Tecnológico de Massachussets, el Dr. Edward Lorenz, considerado el
padre de la teoría del Caos.
A
principios de la década de los 60s. Lorenz usaba computadoras para
ayudarse en la solución de ecuaciones matemáticas que modelaban la
atmósfera de la Tierra. Al hacer un pronóstico meteorológico introdujo
datos para varias variables y acabó con una predicción del futuro estado
del tiempo. Más tarde, queriendo aclarar algunos detalles, regresó a su
predicción y reintrodujo los datos sobre las variables del sistema. La
primera vez, introdujo los números con una aproximación hasta el sexto
decimal. Pero esta vez, para ahorrar tiempo y papel, redondeó a solo
tres decimales. Cuando regresó para checar los resultados de la segunda
prueba encontró una predicción completamente distinta.
Este concepto se ilustra en la célebre noción del “efecto mariposa”, que quiere decir que el aletear de una mariposa en tu jardín hoy, podría causar un tornado en Kansas mañana. Quizás sea un poco sensacional esta imagen, pero lo que ilustra es que no se puede entender cualquier sistema dinámico en la naturaleza si lo aíslas de los sistemas dinámicos del mundo entero. En otras palabras, ya no es viable la concepción del mundo como la suma de sus partes porque las partes están sensiblemente conectadas y dependientes la una a la otra. La visión que se introduce con esta concepción es totalmente holista y dinámica en lugar de cómo había sido hasta antes de este descubrimiento, reductivamente determinista.
Un sistema es cualquier cosa o proceso particular en el que un científico está interesado. Esta compuesto por un número de variables que el científico identifica y define como parámetros del sistema. Al asignar valores cuantitativos a estas variables para un momento dado, el científico puede crear una “imagen” matemática del sistema. Un sistema dinámico es simplemente un modelo matemático que describe la variación de esta “imagen” sobre el tiempo. Las variables que constituyen la mayoría de los sistemas dinámicos cambian de una manera equilibrada y continua, por lo que pueden ser expresadas simplemente utilizando ecuaciones diferenciales. Saber el estado del sistema en un momento dado (condiciones iniciales) es suficiente para predecir su estado en un momento futuro. Esta es la manera como se ha desarrollado la concepción mecanicista de la ciencia hasta la revolución de la Física y la entrada al escenario de la Teoría del Caos.
Pero veamos con más detalle las diferencias entre estas dos concepciones. Los sistemas que le interesan al teórico del Caos son los sistemas no-lineales.
Un sistema lineal es aquel en el que causa y efecto están relacionados
de una manera proporcionada. Si cambia una variable, el efecto
correspondiente y proporcionado surgirá en un estado futuro en el
sistema. En los sistemas no-lineales no hay ninguna relación sencilla entre causa y efecto. Un
cambio en una de las variables puede afectar, de manera
desproporcionada, el valor de otra puede hacer que diverja radicalmente
de manera no predecible por la física clásica. El motor de la no-linealidad es lo que se conoce como iteración o el fenómeno de retroalimentación positiva. Mientras
cambia el sistema en el tiempo, las variables se retroalimentan a sí
mismas. La salida se vuelve entrada y la multiplicación exponencial
repetida de las variables sobre si mismas hace que el sistema se
comporte de manera caótica. Entonces, la teoría del Caos es un estudio
cualitativo, pues la no-linealidad hace que las soluciones nítidas
apropiadas para sistemas lineales sean imposibles para sistemas
no-lineales. En lugar de entender la conducta de un sistema de manera
cuantitativa, de modo que se pueda determinar los estados exactos del
sistema en el futuro, la teoría del Caos se ocupa de entender la
conducta a largo plazo, de buscar patrones sobre una escala holística en
lugar de una reductiva.
La
teoría del Caos aporta un nuevo enfoque a la complejidad que es la
característica común a la naturaleza y a la inmensa mayoría de los
problemas que la Ciencia se plantea: Contaminación ambiental, reacciones
químicas en los suelos, comportamiento humano en situaciones difíciles,
etc. Todo eso rebosa complejidad. Y el caos no es desorden simplemente, sino un orden diferente, que debe verse con otro enfoque. Más
aún, muchas variables no necesariamente han de generar un
comportamiento tan complicado que se parezca al azar. Muchas veces, de
sus interacciones emerge un orden diferente. Por ejemplo, de la
interacción de muchos seres humanos puede surgir una sociedad, que
contiene un orden evidente. No es predecible a largo plazo, pero el
orden existe. Así, la teoría del Caos puede aplicarse a toda Ciencia,
pero hay que entender el enfoque nuevo que aporta, una especie de
paradigma que no descarta ni el desorden aparente ni lo que parece ser
“ruido de fondo” de un comportamiento lineal perfecto. Muchos problemas
científicos podrían resolverse con esta nueva óptica.
El
caos es impredecible, pero determinable. O dicho de otro modo, el caos
no es aleatorio, tiene un orden subyacente. Aunque la conducta de casi
cualquier sistema dinámico puede ser descrita cualitativamente, la
teoría del Caos se ocupa de sistemas que son inestables y aperiódicos.
Un
ejemplo sencillo de un sistema estable sería el de un tazón con una
canica en el fondo. Si desplazas la canica al borde del tazón y luego la
sueltas, regresará al fondo. Resistirá pequeñas perturbaciones en su
equilibrio. Por otro lado, un sistema inestable es aquel cuya conducta
no resiste cambios pequeños, puede ser que las perturbaciones condujeran
a un estado en el futro donde el sistema muestre conducta caótica.
Adicionalmente, los teóricos del Caos se ocupan de la aperiodicidad.
En los sistemas aperiódicos las variables nunca caen en un patrón
regular de repetición sino que parecen moverse de manera aparentemente
aleatoria. Matemáticamente, un caso paradigmático es el valor matemático
de “pi”: no tiene un valor definido ni un patrón repetible.
Como
se ha mencionado, la teoría del Caos explica el comportamiento del
sistema de una manera cualitativa. Donde la ciencia tradicionalmente se
expresa en términos de números en ecuaciones (modelos matemáticos), los
teóricos del Caos, para explicarse un fenómeno, trazan un mapa. El tipo
de mapa que trazan es el que los científicos llaman el espacio de fase
de un sistema. En realidad, evaluar la conducta de un sistema trazando
el mapa de su espacio de fase es una técnica común a un amplio rango de
disciplinas científicas. Lo que el espacio de fase le da al
científico es un modelo para entender cómo las variables del sistema
cambian en el tiempo. Las variables trazadas describen “una figura” de
la conducta global del sistema.
La figura que los investigadores de los sistemas dinámicos buscan es lo que llaman técnicamente un atractor. Al definir los parámetros del atractor de un sistema, un científico puede “predecir” cómo puede ser la futura conducta del sistema. Pero ¿qué es un atractor? Como los mapas del espacio de fase, los atractores son una parte normal del método de la investigación científica tradicional. Antes del advenimiento de la teoría del caos, se había identificado y utilizado tres tipos de atractores en el estudio de los sistemas dinámicos: punto fijo, ciclo limitado y ‘torus’. Un examen de los tres nos ayudará a entender el nuevo tipo de atractor que les interesa a los teóricos del Caos.
Un atractor de punto fijo describe un sistema que es estable y rigurosamente periódico. Un ejemplo sería el péndulo oscilando en el vacío sin fricción, o en el mundo real con fricción, el atractor es un punto fijo. En este último caso, empezando con un desplazamiento y velocidad inicial, la trayectoria se moverá en espiral hacia adentro en el espacio de fase hasta que encuentre la intersección de los dos ejes. Este es el punto hacia el cual el sistema es atraído, lo que quiere decir que su conducta tiende hacia un punto fijo, un estado de descanso completo.
La siguiente etapa de complejidad en la dinámica del sistema se define por un atractor del ciclo limitado. Tal sistema no tiende hacia un solo estado, sino que se mueve cíclicamente en una trayectoria formada por dos puntos. Un ejemplo clásico de éste es un sistema depredador/presa que se encuentra en las poblaciones silvestres. Supongamos que las poblaciones empiezan iguales, en la interacción de las dos poblaciones existirán variaciones que se corresponderán, es decir, las poblaciones oscilarán entre dos límites de población. Para cualquiera de las poblaciones el atractor en el espacio de fase se asemeja a una ola sinoidal estándar.
Si aumentamos la complejidad de la conducta aún más, resulta un tipo de atractor todavía más sofisticado. Si incluimos en nuestro marco de referencia dos ciclos limitados en interacción el uno con el otro, la graficación de su dinámica en el espacio de fase produce un atractor con la figura matemática de un torus. De hecho, es este tipo de atractor el que se utiliza para modelar las órbitas gravitacionales de los cuerpos celestiales, como los planetas. Para dos sistemas cualesquiera, por ejemplo dos planetas, que están en interacción uno con el otro, el atractor de torus es suficiente para describir su conducta. Pero como demostró Poincaré, si se hace más complejo, por la introducción de un tercer cuerpo por ejemplo, esto distorsiona los resultados de un análisis tradicional y hace que la predicción exacta sea imposible. En términos del espacio de fase, no se puede describir el tipo de conducta manifiesta en el problema de tres cuerpos utilizando el atractor torus
A raíz de la imposibilidad de predecir el tiempo en periodos largos, Lorenz empezó a buscar otra manera de modelar el sistema del tiempo. En lugar de un acercamiento cuantitativo, cuyos límites prácticos se habían presentado, por lo que intentó uno cualitativo. Antes de eso, los meteorólogos usaban ecuaciones que producían atractores de torus multidimensionales, pero la capacidad previsora que esto ofreció extendió a unos días nada más. Lo que Lorenz pudo hacer, con la ayuda de la enorme capacidad de calcular de la computadora, fue trazar las trayectorias complejas de sus ecuaciones no-lineales. El resultado fue uno de los descubrimientos más fascinantes de la teoría del caos: el atractor extraño. El atractor se llama extraño porque reconcilia dos características aparentemente contradictorias: modela la conducta que es aperiódica, y a la vez la delimita dentro de un área finita del espacio de fase. Recordemos que la aperiodicidad se refiere al hecho de una variable que nunca se repite en un patrón. En el espacio de fase quiere decir que la trayectoria nunca se cruza sino que continúa hasta el infinito. Lo extraño reside en que no se encuentra extendida en un área infinita del espacio de fase, sino en que las trayectorias convergen hacia una figura definida, o un área de atracción. La dinámica aquí es parecida a un hilo infinitamente largo contenido en un espacio finito. ¿Cómo se hace eso? ¿Qué tipo de figura puede satisfacer tales condiciones? La respuesta se encuentra en la geometría fractal.
Como hemos afirmado, lo que les interesa a los teóricos del caos es un entendimiento de la dinámica de un sistema que puede cambiar de la linealidad ordenada a la turbulencia y el caos. El ejemplo paradigmático de esto es el flujo del agua en un río. Inicialmente su flujo puede ser completamente determinista (flujo laminar), pero mientras aumentan su volumen y velocidad, vórtices y remolinos aparecen, tejiéndose los unos con los otros (flujo turbulento). La complejificación creciente puede ser modelada utilizando la serie de atractores descritos arriba. Empezando con un atractor de punto fijo, el flujo salta al del ciclo limitado. Del ciclo limitado se transforma en una situación donde las trayectorias describen la superficie de un torus. De aquí, si se persiguiera el modelo newtoniano, uno esperaría que el torus se transformara en dimensiones matemáticas más altas. Lo que los teóricos del caos han encontrado es que, en lugar de ser modelado por dimensiones cada vez más altas en el espacio de fase, la conducta caótica es modelada por una dimensión no integral que se presenta en un espacio entre dos y tres dimensiones, a este tipo de figura se le conoce como fractal.
La palabra ‘fractal’ viene del latín fractus, que quiere decir “irregular’, y fue utilizado por el matemático Benoit Mandlebrot en un intento de describir más adecuadamente la geometría del mundo que le rodeaba. Una simple ilustración de la geometría fractal es el borde dentado de la costa, y su representación en diferentes escalas, cada aumento o cambio de escalas revela detalles aún más finos. La característica más interesante de la geometría fractal es que cada una de sus escalas es autosimilar. Esta naturaleza iterativa de la dimensión fractal es algo que Mandlebrot descubrió cuando usó una computadora para iterar una expresión algebraica básica, C (i)=C (i-1)**2+Z, empezando con valores iniciales para C(0) y Z e iterando hasta el infinito, podemos modelar espirales y remolinos fantásticamente extravagantes. Esta situación es también muy afín al reflejar un espejo frente a otro espejo, los reflejos autosimilares a escalas cada vez más pequeñas. Así funciona el atractor extraño. Dentro de una dimensión fractal es capaz de tejer trayectorias infinitas dentro de un espacio finito.
Recordemos que este objeto geométrico, el atractor, es una especie de mapa que indica cualitativamente cómo cambia la conducta de un sistema sobre el tiempo. Si dijéramos que este mapa es bidimensional, y utilizáramos un torus para ilustrarlo, podríamos ver fácilmente cómo las trayectorias que se mueven sobre esta dimensión familiar describen la conducta de un sistema particular. Si dijéramos que este mapa tiene una dimensión fractal, sería una indicación que la figura del atractor es algo entre dos y tres dimensiones. Se puede ver la asignación de un valor fractal como una manera de medir el grado en que un atractor se entromete en el espacio tridimensional. Los atractores extraños no proporcionan ninguna ecuación para la predicción exacta del estado futuro de un sistema, pero sí permiten que los investigadores entiendan cómo se comporta el sistema en su totalidad. Lo que vemos aquí es un acercamiento holístico en lugar de reduccionista, el cual descarta la concepción de la conducta caótica como anómala. Al contrario, los atractores extraños muestran que hay un método en la locura. No solamente asumen un área localizada en el espacio de fase, sino también un análisis de sus dimensiones fractales revela una autosimilaridad bien ordenada y jerárquica en todas las escalas de su estructura.
Es esta característica dimensional la que hace posible la concepción de un atractor extraño como una “infinidad limitada”. A menudo se usa la frase “imprevisibilidad local, pero estabilidad global”, para caracterizar el análisis por atractores de sistemas caóticos. Es un entendimiento cualitativo, en lugar de cuantitativo entonces, ¿Qué es lo que ganamos? Se puede preguntar, ¿Cuál es el uso práctico es este tipo de entendimiento? si no nos puede decir nada en concreto sobre el futuro. Lo que nos proporciona la Teoría del Caos es una lente que nos permite ver un objeto en la distancia con más claridad, pero que no hace nada para acercarnos a él. De hecho, estas son ideas penetrantes que ofrece la teoría del caos y han proporcionado a los científicos de un amplio rango de disciplinas, estrategias para canalizar de manera productiva las dinámicas de la conducta caótica. Por otra parte, es muy importante aprender a vivir en el caos lo cual no significa aprender a controlarlo, ni a predecirlo. Al contrario: hemos de enfocar la cuestión desde el punto de vista de que nosotros también somos parte del caos, no nos podemos considerar como elementos aparte. Desde esa perspectiva lo que podemos hacer es tratar de vivir dentro de la creatividad del caos, sin intentar imponernos; si conseguimos realmente formar parte del sistema, el concepto de sujeto y objeto desaparecerán, con lo cual el problema del control también.
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Dos personas son un mundo y una persona es la mitad de sí mismo. Todas las matemáticas se estrellan contra esa realidad.
Silvina Bullrich
frases de Silvina Bullrich »
Las matemáticas se escriben para los matemáticos.
a historia hace ilustrado al hombre; la poesía, ingenioso; las matemáticas, sutil...
Francis Bacon
frases de Francis Bacon »
En matemáticas uno no entiende las cosas, se acostumbra a ellas.
John Von Neumann
frases de John Von Neumann »
as matemáticas son el alfabeto con el cual Dios ha escrito el universo.
Galileo Galilei
frases de Galileo Galilei »
Las matemáticas son una ciencia exacta salvo cuando te equivocas.
Jaume Perich
frases de Jaume Perich »
Las matemáticas parecen dotar a uno de un nuevo sentido.
Charles Darwin
frases de Charles Darwin »
Los encantos de esta ciencia sublime, las matemáticas, sólo se le revelan a aquellos que tienen el valor de profundizar en ella.
Carl Friedrich Gauss
frases de Carl Friedrich Gauss »
Usted es muy joven para entender las matemáticas, apenas consigue utilizarlas.
John Von Neumann
frases de John Von Neumann »
No puedo imaginar a las matemáticas como algo difícil y aburrido.
William Thomson Kelvin
frases de William Thomson Kelvin »
Si la gente no piensa que las matemáticas son simples, es solo porque no se dan cuenta de lo complicada que es la vida.
John Von Neumann
frases de John Von Neumann »
Se ha convertido casi en un comentario cliché, que nadie hoy en día alardea de ser un ignorante en literatura, pero es aceptable socialmente alardear de ignorar la ciencia y afirmar orgulloso que se es un incompetente en matemáticas.
Richard Dawkins
frases de Richard Dawkins »
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