El Número 
Ese misterioso 3'141592... que se cuela por todas
las puertas y ventanas.
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- Historia del cálculo del número pi
- Valores de π a lo largo de la historia
- Los resultados de aplicar el método de Arquímedes
- Los 1.500 primeros decimales de π
- Los 10.000 primeros decimales de π
- Aproximaciones del número pi
- Estadísticas sobre los decimales de π
- Pon tus condiciones y calcúlalo tu mismo
- Cálculo de π con probabilidades: Métodos de Montecarlo y Buffon (applets en Java)
- Programas para calcular π (descargas)
- Curiosidades, citas y poesías
- Enlaces interesantes
- Pi es irracional. La demostración de Lambert
- π2 es irracional (Legendre)
- Pi es trascendente (Lindemann)
- Las demostraciones de Niven
Nos encontramos con el número π cuando dividimos la longitud
de una circunferencia entre su diámetro. Podemos hallar una aproximación con
cualquier objeto redondo como, por ejemplo, un bote de conservas. Para llevar a
cabo el experimento he buscado uno en mi despensa y lo he medido. He obtenido
para la longitud de la circunferencia 26'7 cm, y para el diámetro 8'5 cm.
 |
Al dividir la longitud (26'7) entre el diámetro (8'5) se obtiene 3'141176... (que está muy cerca del valor teórico). Los objetos redondos (ruedas, recipientes...) fueron utilizados por el hombre desde muy antiguo. En algún momento debieron darse cuenta de que ese "tres y un poco" era fundamental para calcular las longitudes, áreas y volúmenes de los cuerpos redondos. Los antiguos egipcios (hacia 1600 a. de C.) ya sabían que existía una relación entre la longitud de la circunferencia y su diámetro; y entre el área del círculo y el diámetro al cuadrado (seguramente de forma intuitiva). En el Papiro de Rhind puede leerse lo siguiente: "Corta 1/9 del diámetro y construye un cuadrado sobre la longitud restante. Este cuadrado tiene el mismo área que el circulo". Es decir, el área del círculo (llamémosla A) es igual a 8/9 del diámetro al cuadrado (d=2r), A = d2*64/81 = 4r2*64/81 = r2*256/81. Esto equivale a decir que asignaban a π el valor 256/81, aproximadamente 3'16. |
En Mesopotamia, más o menos por la misma época, los
babilonios utilizaban el valor 3'125 (3+1/8) según puede leerse en
la Tablilla de Susa.
Los geómetras de la Grecia clásica sabían que la razón entre
la longitud de una circunferencia cualquiera y su diámetro es siempre una
constante (el número al que ahora llamamos pi). También conocían y habían
conseguido demostrar que tanto la razón entre el área de un círculo y su
diámetro al cuadrado, como la del volumen de una esfera y el cubo de su diámetro
eran constantes (desconocidas en aquel momento, libro XII de "Los Elementos" de
Euclides). Fue Arquímedes (siglo III a. de
C.) quien determinó que estas constantes estaban estrechamente relacionadas con
π. Además, utilizó el método de exhaución, inscribiendo y circunscribiendo en
una circunferencia polígonos de hasta 96 lados y consiguiendo una magnífica
aproximación (si tenemos en cuenta los medios con los que contaba), 3+10/71
< π < 3+1/7; es decir, el número buscado está entre 3'1407 y 3'1428
(se puede ver en su obra "Sobre la medida del
circulo").
En el siglo II d. de C., Ptolomeo utiliza polígonos de hasta
720 lados y una circunferencia de 60 unidades de radio para aproximarse un poco
más, y da el valor 3 + 8/60 + 30/3600 = 377/120 = 3'14166...
En China también se hicieron esfuerzos para calcular su valor.
Liu Hui en el siglo III, utiliza polígonos de hasta 3072 lados para
conseguir el valor de 3'14159, y Tsu Ch'ung Chi en el siglo V da
como valor aproximado 355/113 = 3'1415929...
De la India nos han llegado unos documentos llamados
Siddhantas, que datan del 380 d. de C. Son unos sistemas astronómicos en
los que se da a π el valor 3 + 177/1250, que es exactamente
3'1416. A caballo entre los siglos V y VI vive un importante matemático,
Aryabhata, que en su libro Aryabhatiya da una regla de la que obtenemos
ese mismo valor: "Suma 4 a 100, multiplica por 8 y súmale 62.000. El resultado
te da aproximadamente la circunferencia de un círculo cuyo diámetro es 20.000".
Muchos años después, hacia el 1400, otro matemático hindú, Madhava
descubre los desarrollos en serie del seno, coseno y arco tangente, y consigue
calcular 11 cifras decimales sumando 21 términos de la serie que, más de
doscientos años después, redescubriría Gregory.
En el siglo IX, Al-Khwarizmi hace notar en su tratado de
álgebra que: "el hombre práctico usa 22/7 como valor de π, el geómetra usa 3, y
el astrónomo 3,1416."
En 1429, Al-Khasi sigue utilizando el método de
Arquímedes y trabaja con polígonos de hasta 805.306.368 lados (3·228)
para obtener el valor 3'14159265358979 (14 cifras). En el siglo
XVI, el matemático francés Vieta usó polígonos de hasta 393.216
(3·217) lados para aproximarse hasta 3'141592653 (9 cifras).
Pero el mayor logro conseguido con este método se debe
al matemático alemán, residente en Holanda, Ludolf van Ceulen
(1540-1610), que trabajó en el cálculo de π casi hasta el día de su
muerte. Llegó a trabajar con polígonos de
43611.6862018.4271387.904 lados
(262) consiguiendo una aproximación de 35 cifras decimales. Su
deseo fue que, después de su muerte, se grabará sobre su lápida el número
con los 35 decimales calculados.
El siguiente avance teórico se debe a dos holandeses. Willebrod
Snell (1580-1626) consigue demostrar que el arco x está comprendido entre
3*sen(x)/(2+cos(x)) y 1/3*(2*sen(x)+tan(x)). Christian
Huyghens (1629-1695), cuya obra ha sido calificada como modelo de
razonamiento geométrico, propone que el arco x puede aproximarse por la
expresión (sen²(x)*tan x)1/3 . Con su método, Snell obtuvo 34
decimales exactos, partiendo del cuadrado y doblando 28 veces el número de
lados. Como ejemplo tomemos x = π/16, y las fórmulas de Snell multiplicadas por
16 nos dan unos valores de 3.141566592 y 3.141697707 respectivamente, lo que da
una idea de lo próximos que están a π.
Como podemos ver, el número de lados necesarios para
calcular 35 decimales con el método de Arquímedes es bastante considerable, y
los nuevos métodos de Snell y Huyghens tampoco resultan demasiado eficaces. El
trabajo necesario para calcular más y más decimales empezaba a escapar a las
posibilidades del ser humano. Pero nuevos métodos estaban naciendo y empezando
a crecer en las mentes de algunos matemáticos. Durante el siglo XVII empezaron a
utilizarse las series, productos infinitos y fracciones continuas, y el cálculo
diferencial de Leibnitz y Newton jugó un papel importante en todo ello.
En 1665, el inglés John Wallis descubre el
producto infinito π/2 = 2/1 * 2/3 * 4/3 * 4/5 * 6/5 * ..., pero
desafortunadamente su convergencia es muy lenta.
En 1674 el alemán G. Leibnitz da la serie:
π/4 = 1 - 1/3 + 1/5 -1/7 + 1/9 - ...
pero presenta el mismo problema. Tienen que sumarse unos 19
millones de términos para conseguir 7 decimales correctos. Dejemos claro que el
haber encontrado estas expresiones supone un gran mérito, aunque no son útiles
en la práctica para calcular π con precisión. La serie de Leibnitz
puede deducirse fácilmente del desarrollo de la función arcotangente como serie
de potencias, encontrado por el inglés Gregory (1671):
que para x = 1 nos da la serie anterior. Es fácil darse cuenta de
que si tomamos para x un valor comprendido entre 0 y 1, entonces los términos de
la serie se hacen pequeños de forma más rápida, y tenemos que sumar muchos menos
términos para conseguir una buena aproximación. Proponemos por ejemplo tomar x =
raíz(3)/3, y obtenemos la serie:
π/6 = raíz(3)/3 * ( 1 - 1/(3*3) +
1/(5*32) - 1/(7*33) + 1/(9*34) - ...
)
que converge de forma bastante rápida. Sólo con sumar
10 términos y multiplicar por 2*raíz(3), tengo un valor de π con 5
decimales correctos. Sin embargo esta serie no fue utilizada en la práctica.
¿Por qué? Porque había que calcular la raíz de 3 con muchos decimales exactos
para obtener una buena aproximación, y esto no era una tarea fácil a finales del
siglo XVII.
La solución a todo debía ser una serie de
convergencia rápida y que no implicara el cálculo de raíces o expresiones
excesivamente complejas. John Machin (1706) encuentra la
solución:
π/4 = 4*arc tan (1/5) - arc tan (1/239)
Téngase en cuenta que tan (4*arc tan (1/5)) = (5/6)
/ (119/144) = 120/119, utilizando
dos veces la fórmula de la tangente del
ángulo doble. Por tanto, tan (4*arc tan (1/5) - arc tan (1/239) =
= [tan
(4*arc tan (1/5)) - 1/239] / [1 + tan (4*arc tan (1/5))*1/239]; y sustituyendo
el primer valor obtenido
nos queda (120/119 - 1/239) / (1 - 120/119 * 1/239)
= (28680 - 119) / (28441+120) = 1.
En la práctica el número de términos que hace
falta sumar correspondientes al desarrollo de arc tan (1/239) se limita a unos
pocos sumandos, pues éstos se hacen muy pequeños rápidamente. En el desarrollo
del otro término hay que tomar más sumandos, pero el cálculo de estos es mucho
más sencillo. Utilizando su fórmula, Machin consiguió 100
decimales (calculados a mano, a principios del siglo XVIII).
Años más tarde, Euler encontró algunas
fórmulas más de las que destacamos dos por su sencillez y belleza. En 1734
consigue calcular la suma de los inversos de los cuadrados, problema que se
había resistido durante años a los intentos de muchos matemáticos. La
convergencia de esta serie es, sin embargo, lenta,
La segunda, descubierta en 1738, converge de una
forma mucho más rápida.
arc tan (1) = arc tan (1/2) + arc tan (1/3) =
π/4
 |
Demostración: Obsérvese primero que los dos triángulos azules son
semejantes, ya que tienen un ángulo de 90º y la tangente del más agudo vale 1/2.
En el triángulo grande b + c + 45º = 90º. De donde b + c = 45º. Pero b = arc tan
(1/2) y c = arc tan (1/3).
|
Otra forma sencilla de verlo. Basta con darse cuenta de que
b=arc tan (1/2)
y c=arc tan (1/3). Y la suma b+c es el ángulo que queda entre el lado del cuadrado azul y su diagonal; es decir, la mitad de un ángulo recto. Por tanto, b+c = 45º. |
 |
Una tercera demostración puede hacerse utilizando números
complejos. Si multiplicamos:
(2+i)*(3+i) = 6 + 2i + 3i - 1 = 5 + 5i
Pero el argumento de 2+i es arc tan (1/2) y el de 3+i es arc
tan (1/3). Al multiplicar los dos números
los argumentos se suman, con lo cual arc tan (1/2) + arc tan (1/3) es arc tan (1) = π/4. | |
La fórmula desarrollada quedaría como sigue:
En esta época se solía utilizar la letra "p" (peripheria) para
designar a la razón entre circunferencia y diámetro, aunque algunos, como el
inglés William Jones (1706), ya utilizaban el símbolo π. Fue Leonhard Euler quien introdujo este símbolo
de forma definitiva al utilizarlo en su libro "Introductio in Analysin
Infinitorum", publicado en 1748.
Años más tarde, en 1755, Euler encontraría otra fórmula de
convergencia rápida. Esta fórmula le permitió calcular 20 decimales de π en una hora. La fórmula es:
π/4 = 5*arc tan(1/7) + 2*arc
tan(3/79)
No es sólo que la serie converja muy rápida,
es que Euler era un verdadero prodigio para el cálculo. Era capaz de recitar de
memoria cantidades como 2414 ó 3376, y hacer cálculos
mentales en los que tenía que retener en la memoria hasta 50 cifras
decimales.
Durante el siglo XVIII se descubrieron más
fórmulas del estilo de la de Machin. Destacaremos especialmente la de Hermann,
π/4 = 2*arc tan (1/2) - arc tan (1/7) y la de
Hutton (1776), π/4 =
2*arc tan (1/3) + arc tan (1/7). La fórmula de Euler y la de Hutton fueron
utilizadas por Vega en 1789 para calcular 140 decimales (126
correctos).
En 1761 Lambert demuestra que π es
irracional, y en 1794 Legendre prueba un resultado un poco más fuerte que
π2 también es
irracional. En 1882 el alemán Lindemann demuestra que π es trascendente, lo cual supone (entre otras cosas) que
la cuadratura del círculo es imposible; este problema había permanecido sin
resolver durante más de 2000 años. También arroja un poco de luz sobre la
naturaleza de π: nunca podremos llegar a conocerlo;
sus decimales constituyen una sucesión ilimitada no periódica que ni siquiera es
la raíz de una ecuación algebraica. Algunos consideran los decimales de π como una especie de sucesión de números aleatorios,
impredecible e indeterminable.
En 1844, Dase, un calculista ultrarrápido, utilizó otra
fórmula del tipo arcotangente para conseguir una aproximación con 200
decimales correctos. La fórmula descubierta por Strassnitzky es:
π/4 = arc tan (1/2) +
arc tan (1/5) + arc tan (1/8)
El gran matemático alemán, Karl Friedrich
Gauss (1777-1855), también descubrió algunas fórmulas similares a las
anteriores. Una de las más utilizadas ha sido:
π/4 = 12*arc tan
(1/18) + 8*arc tan (1/57) - 5*arc tan (1/239)
Y otra similar descubierta por Störmer
(1896):
π/4 = 6*arc tan (1/8)
+ 2*arc tan (1/57) + arc tan (1/239)
La idea es que cuanto mayores sean los denominadores,
más rápida será la convergencia. También se pierde eficacia si el número de
sumandos es grande.
El último gran esfuerzo lo hizo el inglés Willian
Shanks, que calculó a mano 707 decimales (527 correctos) utilizando
la fórmula de Machin. El cómputo le supuso una dedicación de 20 años, acabando
en 1853. Para superar esta marca hubo que esperar hasta 1946, año en el que
Ferguson detecta el error de Shanks en el decimal 528. El cálculo lo realizó con
la ayuda de una calculadora (de las de entonces), llegando en 1947 a los
808 decimales. En 1949 llegaron a calcularse 1120, y a partir de
esta fecha empieza la era del ordenador electrónico.
Fue Reitweisner quien en 1949 y siguiendo una sugerencia de Von
Neumann, calculó 2037 decimales en 70 horas. Utilizó uno de los primeros
ordenadores electrónicos, el ENIAC (Electronic Numerical Integrator and
Computer), que pesaba 18 toneladas. En 1958, Genuys utiliza un IBM 704 para
alcanzar los 10.000 decimales en 100 minutos. En ambos casos se empleó la
fórmula de Machin.
En 1961, Shanks y Wrench alcanzan los 100.265 decimales en 8
horas y 43 minutos sobre un IBM 7090. En 1967, Guilloud y Dichampt alcanzan los
500.000 sobre un CDC 6600. En 1973, Guilloud y Bouyer alcanzan
1.001.250 decimales sobre un CDC 7600 en 22 horas y 11 minutos, más 1
hora y 7 minutos para pasar el resultado a decimal. En los tres casos se
utilizaron las fórmulas de Gauss y Störmer, una para hacer el primer cálculo y
la otra para comprobarlo.
Se siguieron utilizando estas fórmulas del arco tangente en sus
diversas variantes hasta la mitad de la década de los 80. Pero ya se dejaba ver
que estas fórmulas no eran suficientes para alcanzar cantidades mucho más
grandes, tales como 1.000.000.000 de cifras (109). Se estimó que un
ordenador necesitaría más de 25 años de cálculo ininterrumpido para llegar a
tales metas. El objetivo era ahora encontrar algoritmos más eficaces, métodos
que permitieran calcular más decimales en menos tiempo. La primera solución fue
una serie descubierta por Ramanujan en 1914,
que fue utilizada por Gosper en 1985 para conseguir
17.526.200 decimales. La principal característica de esta serie es que
cada término sumado añade 8 decimales exactos al valor calculado para π.
Quizá el hecho de que la serie de Ramanujan sea algo
compleja hizo que se buscarán otras alternativas. El antiguo método de
Arquímedes había sido estudiado y formalizado por Pfaff en 1800. Este algoritmo
puede expresarse de forma recurrente con las siguientes fórmulas:
an+1 =
2*an*bn/(an+bn) ,
bn+1 = raíz (an+1*bn) tomando
a0 = 2*raíz(3) , b0 = 3
pero como ya sabemos la sucesión converge a π muy lentamente
(convergencia lineal).
En 1976, Brent y Salamin (de forma independiente)
encuentran una sucesión similar a la anterior pero que converge de forma
cuadrática (el número de decimales obtenidos se duplica con cada iteración). Al
algoritmo se le suele llamar de Brent-Salamin, o también de Gauss-Legendre. El
algoritmo es el que sigue, siendo pn una sucesión que converge a
π:
an = (an-1+bn-1)/2 ,
bn = raíz (an-1*bn-1) , cn =
an-1- an
pn = 4*(an+1)2/(1-suma
{(k=0,inf) 2k+1 ck2}) tomando
a0 = 1 , b0 = 1/raíz(2) , n>0
Otro algoritmo en esta línea es el que los hermanos
Borwein encontraron en 1984, y que también converge de forma cuadrática
(convergencia de segundo orden):
xn+1 = (raíz(xn) +
1/raíz(xn))/2 , yn+1 = raíz(xn)*(yn
+ 1)/(xn + yn)
pn=pn-1*yn+1*(xn+1
+1)/(yn+1 + 1) tomando x0 = raíz(2) , y0
= 0 , p0 = 2 + raíz(2)
En 1985 encontraron otros dos algoritmos de convergencias cúbica y
cuártica respectivamente. Este último se calcula de la siguiente forma, siendo
an una sucesión que converge a 1/π:
yn+1 = (1 -
(1-yn4)1/4)/(1 +
(1-yn4)1/4) , an+1 =
(1+yn+1)4 an - 22n+3
yn+1(1 + yn + yn+12)
tomando y0 = raíz(2) - 1 , a0 = 6 -
4*raíz(2)
Este último algoritmo fue utilizado en 1986 por Bailey para
calcular 29.360.111 decimales sobre un Cray-2. Decir que los hermanos
Borwein siguieron trabajando en este tipo de algoritmos y encontraron sucesiones
que convergen a π de forma quíntica, séptica?, nónica,... También obtuvieron
algunas fórmulas similares a la de Ramanujan.
En 1988 Kanada y Tamura calculan 201.326.000
decimales sobre un Hitachi S-820 en 6 horas, utilizando el algoritmo de
Gauss-Legendre (Brent-Salamin). Sólo necesitaron 28 iteraciones para obtener el
resultado. El algoritmo de Borwein de convergencia de cuarto orden (convergencia
cuártica) fue utilizado para verificar el resultado.
Ese mismo año los hermanos Chudnovsky siguiendo la línea
de Ramanujan encuentran la siguiente fórmula:
Cada término de esta fórmula añade 14 decimales exactos al valor
calculado para π, y con ella consiguieron la marca de 4.044.000.000 de
decimales en 1994 utilizando un ordenador de fabricación propia.
El 20 de septiembre de 1999, Kanada y Takahashi consiguen
206.158.430.000 decimales. Hacen dos cálculos independientes. El programa
principal utiliza el algoritmo de Gauss-Legendre (Brent-Salamin) y tarda un
total de 37h 21m 04s. El programa de verificación utiliza el algoritmo de
convergencia de cuarto orden de Borwein y tarda un total de 46h 07m 10s. El
ordenador es un Hitachi SR8000 de la Universidad de Tokio, con 128
microprocesadores y una memoria principal superior a 800 GB. La velocidad de
proceso para cada uno de los microprocesadores puede alcanzar los 8.000.000.000
de FLOPs (8.000 megaflops, 8*109 operaciones de coma.
Fuente: http://mimosa.pntic.mec.es
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