DE LA CULTURA Y LA ACADEMIA: ECUACIONES DIFERENCIALES DE VARIABLES SEPARABLES

jueves, 5 de marzo de 2015

ECUACIONES DIFERENCIALES DE VARIABLES SEPARABLES

Una ecuación diferencial de primer orden

$\frac{dy}{dx}=f(x,y)$

(1)

se dice que es una ecuación de variables separables o con variables separadas si tiene la forma

$\frac{dy}{dx}=\frac{G(x)}{H(y)}.$ (2)

Ejemplo 1

Las ecuaciones diferenciales

$\frac{dy}{dx}=\frac{x}{y}, \;\;\; \frac{dy}{dx}=\frac{x}{y}\sin(x)$

son ejemplos de ecuaciones de variables separables. En el primer caso

$f(x,y)=\frac{x}{y}=\frac{G(x)}{H(y)}$ con $G(x)=x$ y $H(y)=y$ ; mientras que en el segundo

$f(x,y)=\frac{x}{y}\sin(x)=\frac{G(x)}{H(y)}$ con $G(x)=x\sin(x)$ y $H(y)=y.$

Ejemplo 2

Las ecuaciones diferenciales

$\frac{dy}{dx}=\frac{x\sin(xy)}{y}$ , $\frac{dy}{dx}=\frac{\ln xy}{y}\sin(x)$

no son ecuaciones de variables separables.

Ahora veamos como se resuelve una ecuación diferencial de variables separables o separadas.

Ejemplo 3

Consideremos la ecuación diferencial

$\frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y}.$

Observemos que es una ecuación de variables separables. En este ejemplo, $F(x)=-x, G(y)=y.$ La ecuación diferencial puede reescribirse como

$ydy=-xdx,$

y al integrar esta igualdad obtenemos $\int ydy=\int xdx$ , de donde

$\frac{y^2}{2}=-\frac{x^2}{2}+k_1,$

o equivalentemente

$x^2+y^2=k.$

Esta ecuación representa a una familia de soluciones, cuyos elementos son todas las circunferencias centradas en el origen.

Ejemplo 4

Resolver la ecuación diferencial

$e^x\frac{dy}{dx}-\frac{x}{2+y^2}=0.$

Dicha ecuación la podemos reescribir como

$e^x\frac{dy}{dx}=\frac{x}{2+y^2}.$

o, equivalentemente

$\frac{dy}{dx}=\frac{e^{-x}x}{2+y^2}$ .

De la expresión anterior vemos que $F(x)=xe^{-x}$ y $G(y)=2+y^2.$

Para resolverla, la reescribimos como

$(2+y^2)dy=xe^{-x}dx$ ,

y posteriormente procedemos a integrar esta igualdad

$\int (2+y^2)dy=\int xe^{-x}dx$ ,

la primera integral es simple

$\int 2+y^2dy=2y+\frac{y^3}{3}+c_1$ ,

mientas que la segunda integral $\int xe^{-x}dx$ se calcula mendiante integración por

partes: $\int udv=uv-\int vdu$ , tomando $u=x, dv=e^{-x}dx$ , por lo que

$du=dx, v=-e^{-x}$ . De esta forma,

$\int xe^{-x}dx=-xe^{-x}+\int e^{-x}dx=-xe^{-x}-e^{-x}+c_2=-e^{-x}\left(1+x\right)+c_2$ ,

por lo que, al igualar ambas integrales, obtenemos

$2y+\frac{y^3}{3}+c_1=-e^{-x}\left(1+x\right)+c_2.$

En consecuancia, la solución se expresa implícitamente por

$2y+\frac{y^3}{3}+e^{-x}\left(1+x\right)+C=0.$

Aún cuando las ecuaciones de variables separables no son complicadas en su solución (las complicaciones que surgen se deben a la misma dificultad de las integrales involucradas), son un ejemplo del tipo de ecuaciones diferenciales que modelan problemas de muy distinta índole, que van del decaimiento radiactivo, a la dinámica de poblaciones en sus modelos malthusiano y logístico, problemas de enfriamiento y transmisión de enfermedades, entre otros. Algunos ejemplos de este tipo de modelos los puede encontrar el lector en la sección

Modelado y solucion de ecuaciones diferenciales de primer orden

La siguiente liga conduce a ejercicios de ecuaciones de variables separables y ejercicios de ecuaciones lineales de primer orden