DE LA CULTURA Y LA ACADEMIA: LA MAGIA DE LOS NUMEROS

Números

Triangulares

Pentagonales

Hexagonales

Heptagonales

23 de junio de 1993. Recién estrenado el verano. Un matemático ocupa las primeras páginas de los periódicos del mundo anglosajón y hasta El País le dedica media página. Se trata de un joven profesor inglés, afincado en la universidad Princeton, Andrew Wiles, que estaba impartiendo una serie de tres conferencias, con el poco atrayente título de Formas modulares, ecuaciones elípticas y representaciones de Galois, en un congreso matemático en Cambridge.

Muy pocas veces una conferencia de matemáticas, incluso un congreso entero, suscita la atención de los periodistas. Pero este congreso, y estas conferencias, iban a pasar a la historia. Wiles había rellenado varias pizarras y al final, sin ninguna estridencia y con una ligera sonrisa, modestamente dijo: "creo que lo dejaré aquí".

Esperó las reacciones del público asistente, unas 200 personas. Al principio no pasa nada, pero al cabo de unos instantes comienzan a oírse murmullos de sorpresa y se abren ojos de incredulidad. Ante los ojos atónitos de los asistentes estaba la demostración de la conjetura de Taniyama - Shimura, que conducía directamente a la demostración del ÚLTIMO TEOREMA DE FERMAT.

Los asistentes se sentían tocando la historia: un problema de más de 350 años vencido. El gran reto del genial matemático francés del siglo XVII al fin resuelto.

Definitivamente, ya se podía afirmar que no existen tres números enteros que verifiquen la ecuación

Xⁿ + Yⁿ = Zⁿ , cuando n es mayor que 2.

Por desgracia, Nick Katz encontró en septiembre que el trabajo de Wiles presentaba un error que invalidaba la demostración.

Tras un año de esfuerzo obsesivo Wiles volvió a ocupar la portada de los periódicos, pero esta vez, sin ningún error de por medio.

El 25 de octubre de 1994 es un día que pasará a la historia de las Matemáticas. Ese día, Andrew Wiles presentó dos manuscritos - unas 130 páginas en total -, para su publicación en los Anales de Matemáticas, que contenían la demostración del Último Teorema de Fermat.

Y como encabezamiento la frase más célebre de la historia de los problemas de matemáticas:

"Es imposible encontrar la forma de convertir un cubo en la suma de dos cubos, una potencia cuarta en la suma de dos potencias cuartas, o en general cualquier potencia más alta que el cuadrado en suma de dos potencias de la misma clase; para este hecho he encontrado una demostración excelente. El margen es demasiado pequeño para que dicha demostración quepa en él"

Pierre de Fermat

El culpable del reto

Fermat nació en los albores del siglo XVII, en 1601 en Beaumont, un pueblo del suroeste de Francia. Su padre era un rico comerciante de pieles lo que le permitió realizar sus estudios de leyes en la Universidad de Toulouse, donde nunca destacó en Matemáticas.

No publicó en su vida ningún libro sobre matemáticas. De hecho llegó a escribir a Pascal:

"No quiero que aparezca mi nombre en ninguno de los trabajos considerados dignos de exposición pública"

Pero Fermat tenía la pasión por los números. Y ello en parte gracias al libro de un matemático que vivió 1.300 años antes que él.

Este libro era la edición de la Aritmética de Diofanto. La Aritmética constaba de 13 libros de los cuales sólo seis sobrevivieron a la destrucción de la gran biblioteca de Alejandría, primero por los cristianos y luego por los musulmanes.

En 1621 aparece en Francia una traducción al latín de estos seis libros, realizada por Bachet, otro aficionado a los acertijos matemáticos.
Este libro se convertiría en el libro de cabecera de Fermat durante muchos años.

En él Diofanto propone más de cien problemas numéricos y da brillantes soluciones a todos ellos.

Algunos tienen que ver con las ternas pitagóricas, es decir, las ternas de números enteros que verifican X² + Y² = Z²

Fermat intuye que el exponente 2 es una frontera matemática para este tipo de ecuaciones con números enteros y postula, en una de las anotaciones a la Aritmética su famoso reto.

Desde este momento las mejores mentes matemáticas de 3 siglos no van a poder sustraerse a la tentación de intentar encontrar esa marillosa demostración de la que habla Fermat.

Euler lo demostró para n = 3 y n = 4
Dirichlet y Legendre para n = 5
Lamé para n = 7
Kummer para todos los primos menores que 100 salvo para n = 37, 59 y 67
Sophie Germain....

El último teorema, pero no el único

Los números amigos, un problema con 2000 años

Los pitagóricos ya habían observado una rara relación entre los números 220 y 284.

Los divisores de 220 son: 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 y 110

Los de 284 son: 1, 2, 4, 71 y 142.

En apariencia no tiene mucho parecido, salvo por este curioso hecho:

Si sumamos todos los divisores de 220:

1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284,

si sumamos los de 284:

1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220

La suma de los divisores de un número nos da el otro.

Durante muchos siglos estos dos números fueron los únicos amigos. Pero llegó Fermat.

Con suma paciencia y una admirable visión numérica, tras más de dos mil años, Fermat va a descubrir la segunda pareja de números amigos. Unos amigos mucho más complicados que 220 y 284.

Se trata de estos dos números: 17296 y 18416.

Descubre además una regla general (conocida por ibn Qurra):

"Si q = 3·2 ^p-1-1; r = 3·2 ^p- 1; s = 9·2 ^2p-1-1 son números primos, entonces

n = 2 ^p·q·r y m = 2 ^p·s son números amigos"

220 corresponde a los valores de p = 2; q = 5 y r = 11

284 corresponde a los valores de p = 2; s = 71

Fermat, conocido por su talante beligerante a la hora de plantear retos numéricos a sus colegas, lanza la propuesta de encontrar otros números amigos, entre otros a Descartes.

La respuesta de éste no se hizo esperar y seguro que dejó pasmado a Fermat: 9.363.584 y 9.437.056.

Sin duda Descartes había deducido la regla de Ibn Qurra.

Euler, quedó desde joven cautivado por los retos numéricos de Fermat y de hecho intento dar la respuesta a todos ellos y salvo el último teorema lo consiguió de forma brillante.

En un artículo para la revista de la Academia de San Petersburgo titulado De numeris amicabilis

Euler nos ofrece esta otra pareja 122.265 y 139.815, junto a otras 59. A principios de est siglo se descubrió que una era incorrecta

Otros regalos de Fermat

Los viejos números primos

Hay dos grandes familias de números primos:

Unos son de la forma 4 n + 1: 5, 13, 17, 29, 37, 41...

Los otros de la forma 4 n +3: 3, 7, 11, 19, 23, 31, 43...

Fermat descubrió que todos los de la primera familia se pueden escribir como la suma de dos cuadrados.

Pero en cambio, NINGUNO, de los de la segunda familia se puede descomponer en la suma de dos cuadrados.

El pequeño teorema de Fermat

Si a es un número natural cualquiera, por ejemplo 9 y p un número primo que no es divisor de a, por ejemplo 5; siempre se cumple que p, en este caso 5, es divisor exacto de a^p-1 -1, en nuestro caso 9 ^{5 - 1} - 1.

En efecto 9 ⁴ - 1 = 6561 - 1 = 6560 que es divisible por 5 6560 : 5 = 1312.

Esta brillante joya numérica se conoce como el "pequeño teorema de Fermat".

Y, cómo no, fue demostrado por Euler cuando tenía 29 años.

Su gran fallo. Los primos de Fermat

Fermat afirmó que todos los números de la forma

+ 1, son números primos

Euler se encargaría de demostrar que por una vez Fermat estaba equivocado

Si n = 5 2³² + 1 = 4.294.967.297 = 641 x 6.700.417 no es primo

Pero aunque Fermat es el gran impulsor de los problemas relacionados con los números enteros, para encontrar el origen de estos probleas hay que retroceder en el tiempo hasta el nacimiento de la Aritmética y viajar al siglo VI antes de Cristo.

En el principio fue...Pitágoras

Sin duda a Pitágoras le debemos el nacimiento de las Matemáticas como ciencia. De hecho el término Matemáticas se lo debemos él.

Podemos resumir la deuda de la Humanidad con los pitagóricos en estos cuatro puntos:

Proporciona la primera visión cosmológica del universo físico
Afirman que la esencia del mundo físico es matemática
Colocan número natural origen, fundamento y explicación de todas las cosas
Son los responsables de la organización del saber en las las 4 ramas que perdurarán hasta los tiempos de Newton: Aritmética, Geometría, Música y Astronomía. El famos cuadrivium medieval.

Pero los matemáticos les debemos algo más importante: el nacimiento de la Teoría de Números. Filolao, un siglo después de Pitágoras llegó a afirmar:

"Todas las cosas que pueden ser conocidas tienen número; pues no es posible que sin número nada pueda ser conocido ni concebido".

Los pitagóricos consideraban a los números como los componentes últimos de los objetos materiales. Más o menos como nuestros átomos.

Seguramente a esta concepción más materialista debamos la existencia de los números triangulares y de los números poligonales desde los albores de la Matemática.

Los números poligonales o figurados.

Un problema con más de 2.000 años

Las expresiones «números triangulares» o «números cuadrados» no son meras metáforas sino que esos números son, efectivamente, ante el espíritu y ante los ojos de los pitagóricos, triángulos y cuadrados.

Así tres puntos formarán un triángulo. Si a estos tres puntos les añadimos otros tres seguimos teniendo un triángulo, y lo mismo ocurre si a éste le añadimos cuatro puntos.
Es decir los números 1, 3, 6, 10, 15... son números triangulares.
De forma mucho más clara con los números 4, 9, 16, 25... podemos formar cuadrados. Junto al 1 constituyen los números cuadrados

Siguiendo con esta visión geométrica, es inmediato descubrir los números pentagonales: 1, 5, 12, 22... O los hexagonales: 1, 6, 15, 28...
En todos los casos las series numéricas son sumas parciales de los primeros términos de progresiones aritméticas cuyo primer término es siempre 1 y cuya diferencia es r. Siendo r el número de lados del polígono asociado a la serie menos dos unidades, es decir, r = 1 para números triangulares, r = 2 para cuadrados, r = 3 para los pentagonales...
Lo que viene a demostrar, que sin ningún apoyo algebraico, y utilizando exclusivamente modelos geométricos, los pitagóricos dominaban los métodos
para sumar progresiones aritméticas simples del tipo
; y seguramente del tipo
Esta visión geométrica les permitió obtener los primeros resultados generales sobre propiedades de los números naturales y poligonales.
Algunos evidentes, al fin y al cabo eso es lo que significa la palabra griega "teorema", lo que se contempla, lo que se ve; aunque nada simples si los miramos con ojos exclusivamente aritméticos

Los primeros teoremas geométricos. Conocemos a Hipsicles, Teón de Esmirna, Nicómaco de Gerasa y Boecio.

El tema se convirtió en uno de los tópicos pitagóricos más habituales. Fue

tratado por Pseusipo y Filipo (en la Academia platónica), así como por Hipsicles quien durante un tiempo fue honrado al ser llamados los números poligonales como Números de Hipsicles. Teón de Esmirna realizó una descripción bastante desarrollada de los números poligonales, que incluye algunos de los teoremas generales anteriores en su obra Cuestiones útiles

en Matemáticas para la lectura de Platón.

Aunque no llegaran a efectuar demostraciones generales de las relaciones entre los distintos tipos de números poligonales, sembraron la semilla de la curiosidad en un campo abonado. Un campo que va reclamar la atención de matemáticos de todas las épocas

Teorema de Teón

¿Cuánto suman los n primeros cubos?.

La sorpresa de Nicómaco Nicómaco de Gerasa

(s. I d. de C.) en su Introducción a la Aritmética llegó a descubrir resultados generales de interés como el hecho de que el cubo de todo número entero n, es la suma de n números impares consecutivos:

1³ = 1; 2³ = 3+5; 3³ = 7+9+11;... Y por tanto

1³+2³+3³+...+n³= 1+3+5+7+...+n(n+1)-1= (1+2+3+...+n)² = (T_n)²

A pesar de contar con un modelo geométrico claro, la obtención de fórmulas algebraicas generales para obtener directamente estos números ya no es tarea tan simple. La obra de Nicómaco va a suponer un cambio radical en el estudio de estos números, la simple generalización empírica de la verificación aritmético–visual es reemplazada por proposiciones rigurosamente demostradas casi al estilo euclídeo.

La Edad Media. La herencia de Diofanto y Boecio. Los teoremas generales.

Diofanto de Alejandría

( s. III d. de C) además de su famosa Aritmética, escribió otro libro, del que por desgracia sólo se conservan fragmentos, sobre los números poligonales, en el que la idea de su construcción se extiende al espacio, haciendo su aparición los números piramidales, que se obtienen apilando en capas los sucesivos números poligonales de un mismo orden.

Los números piramidales de base triangular se obtienen a través de las sumas parciales de los números triangulares, también se les conoce como números tetragonales. Son: 1, 4, 10, 20...
Los piramidales cuadrados son: 1, 5, 14, 30...
Los de base pentagonal: 1, 6, 18, 40...
Pero la pervivencia de la curiosidad por estos números en la Edad Media se la debemos a Boecio, cuya principal obra matemática, la Aritmética, va a constituir una de las escasas fuentes de alimentación de las matemáticas hasta la llegada de las traducciones de las obras griegas realizadas por los sabios islámicos.

Manuscrito medieval representando los números poligonales

Su traducción a una tabla moderna

Ahora es fácil comprobar que la relación de los números cuadrados con los triangulares,

C_n = T_n + T_n-1 , es un caso particular de una ley más general:

"Todo número poligonal es la suma del poligonal del mismo orden y de una dimensión inferior más el nº triangular de orden inferior". Teorema de Nicómaco

N_d,n = N_d-1,n + T_n-1

El Renacimiento. Bachet y su famosa edición de la Aritmetica de Diofanto (1621).

G.Bachet de Meziriac publicó en 1621 la obra de Diofanto con interesantes apostillas sobre números poligonales, que inspiraron los bellos descubrimientos de Fermat sobre la materia.

La descomposición triangular N_d,n = T_n + (d -3) T_n-1.

De donde es elemental obtener la fórmula algebraica general:

Pero a Ba chet le debemos otra gran contribución en forma de teorema:

"Todo número natural puede ser expresado como la suma de cuatro cuadrados de números enteros"

Teorema demostrado por Lagrange en 1770

Siguiendo esta senda Waring conjeturó que todo número natural se puede representar como la suma de 4 cuadrados, 9 cubos, 19 potencias cuartas...

La demostración se la debemos a Hilbert en 1909.

Descartes y los números piramidales

Descartes en su tratado Progymnasmata de Solidum Elementis va a recuperar los números piramidales e hiperpiramidales descubriendo tanto los gnomons que permiten su formación como las fórmulas generales de los mismos. También realiza un estudio profundo sobre los números figurados sólidos basados en los poliedros regulares.

Pero, ya puestos, acabemos la historia. El gran reto de Pierre de Fermat.

"Todo número entero puede expresarse mediante suma de, a lo sumo, n números n-gonales".

Esta conjetura es una generalización de otra recogida ya en la edición de la Aritmética de Diofanto de Bachet: "Todo número es suma de cuatro números cuadrados"
Fermat dice que lo demostró por el método de descenso infinito, para los cuadrados
Euler lo intenta sin éxito
Lagrange (1770) demuestra que todo número entero se puede expresar mediante la suma de, a lo sumo, cuatro cuadrados.
Gauss (1796), Disquisitiones Aritmeticae ¡¡Eureka: N = D +D +D!!

La anotación de Gauss en su diario responde a la alegría de haber encontrado una demostración para el caso particular de números triangulares:N = D + D + D "Todo número entero es suma de, a lo sumo, tres números triangulares".
No se quedó ahí, en sus Disquisiciones Aritméticas, publicadas cinco años después de esta anotación, Gauss, nos brinda la demostración no solo para números triangulares sino también nos demuestra que todo número entero es suma de, a lo sumo cuatro números cuadrados, por una vía completamente distinta a la de Lagrange.

Disquisitiones Aritmeticae

293. Las disquisiciones precedentes también proporcionan una

demostración del famoso teorema que dice que todo entero positivo se

puede descomponer en tres números triangulares, como hace tiempo

fue descubierto por Fermat, pero cuya demostración rigurosa ahora se

ha logrado

No habrá que esperar mucho tiempo para ver demostrada la conjetura

general. Sería en 1815 en una de las dos memorias que Augustin-Louis

Cauchy presentó a la Academia de Ciencias de París.

Tras más de dos milenios, los, en apariencia ingenuos, números poligonales de

la escuela pitagórica contribuían a consagrar de manera definitiva a dos de los

grandes matemáticos del Siglo XIX.

SIGLO XVII. La fiebre de las series

La suma de los inversos de los números triangulares

Cuando Leibniz llega a París, con su máquina de calcular debajo del brazo, con fama de abogado y diplomático brillante y con mucho éxito con las damas en los salones de la época, no tenía aún una base matemática sólida. Lejos quedan todavía los años de fundación del cálculo.

Leibniz pidió a Huygens que le introdujera en los círculos científicos del París de ls época. Y éste le puso un examen previo, una especie de selectividad para acceder a su petición. Le planteó que calculase la suma de esta serie, que curiosamente tiene que ver con los números triangulares:

Leibniz, que a pesar de su escasa formación, era un genio, dio la respuesta de forma ingeniosa:

Calculó, no la suma, sino su mitad:

1/2 · S = 1/2 + 1/6 + 1/12 + 1/20 + ... =

= (1- 1/2)+(1/2 - 1/3)+(1/3 - 1/4)+(1/4 - 1/5)... =

= 1- 1/2+1/2 - 1/3+1/3 - 1/4+1/4 - 1/5... = 1

Luego S = 2

Y los medios científicos y matemáticos parisinos abrieron sus puertas de par en par a Leibniz y quizás gracias a ello, pudo nacer el cálculo diferencial e integral.

El problema de Basilea. Los malditos inversos de los cuadrados...

Si la suma de los inversos de los números triangulares constituyó un problema fácil para Leibniz, no ocurrió lo mismo con la suma de los inversos de los números cuadrados.

1+ 1/4 + 1/9 + 1/16+... =?

En apariencia la solución debe ser tan simple como la de los triangulares. Y así lo pensaron los Bernoulli, pero pronto se dieron cuenta que algo iba mal.

La serie llegó a obsesionar a Jakob Bernoulli, que llegó a anunciar públicamente este grito de socorro:

"Grande será nuestra gratitud si alguien encuentra y nos comunica lo que hasta ahora ha escapado a nuestros esfuerzos"

¿Quién podría acudir a esta llamada de socorro? Solo una persona: el genial Euler

Sus armas:

El análisis:

Desarrollos en serie:

Manipulaciones algebraicas "atrevidas" de series infinitas:

El ingenio, introduce la función:

Sacando x factor común:

Factoriza P(x):

Compara los términos de 2° grado:

Y despejando:

1+ 1/4 + 1/9 + 1/16+... = p²/6

"He encontrado ahora y contra todo pronóstico una expresión elegante para la suma de la serie que depende de la cuadratura del círculo...

He encontrado que seis veces la suma de esta serie es igual al cuadrado de la longitud de la circunferencia cuyo diámetro es 1" Leonhard Euler

Historias sin final, por ahora...

Puede parecer que la demostración del último teorema de Fermat ha dejado huérfanos a los matemáticos de grandes retos en Teoría de Números.

Nada más lejos de la realidad. Problemas de siglos atrás e incluso de milenios siguen ahí retando la creatividad humana.

Números perfectos, una historia abierta

Nicómaco de Gerasa en su Introductio Arithmeticae incluye los 4 primeros números perfectos: 6, 28, 496, 8128

En el libro IX de los Elementos, Euclides nos deja perplejos con su proposición 36, que proporciona un método original para encontrar números perfectos.

"Si tantos números como se quiera a partir de una unidad se disponen en proporción duplicada hasta que su total resulte primo, y el total multiplicado por el último produce algún número, el producto será perfecto"

En lenguaje actual:

"Si la suma de las n primeras potencias de 2 es un número primo, entonces el producto de la suma por la última potencia sumada es un número perfecto".

Si (1+2+2²+...+2ⁿ) es primo, entonces (1+2+2²+...+2ⁿ)·2ⁿes perfecto.

Otra vez Euler:

Demuestra el recíproco del teorema de Euclides sobre números perfectos.

Desde entonces se conoce como Teorema de Euclides-Euler

Si N es un número perfecto y par, entonces N = 2 ^k-1 (2 ^k-1), donde 2 ^k-1es un número primo

Pero en este teorema hay una palabra que deja la historia abierta a futuras generaciones de matemáticos: PAR.

Hasta ahora todos los números perfectos encontrados son pares. Pero ¿existe algún número perfecto impar?

Aquel que encuentre el primero, o que por el contrario, demuestre que no hay ninguno, inscribirá su nombre, con letras de oro, como Andrew Wiles, en el maravilloso libro de la Historia de las Matemáticas.

Y hablando de números pares...

Si tiene problemas económicos con alguna hipoteca, siempre puede atacar otro problema con más de 250 años, el reto de Golbach a Euler, que a pesar del tío Petros, sigue haciendo guiños a los matemáticos y que proporcionará 1.000.000 de dólares al que lo resuelva:

"TODO NÚMERO PAR, MAYOR QUE DOS, ES SUMA DE DOS NÚMEROS PRIMOS"

La historia continua...

NÚMEROS CARGADOS DE SORPRESAS: p, F, e ...

El número áureo. La maldición pitagórica

El pentagrama o polígono estrellado de 5 puntas es el símbolo de los pitagóricos...

Por aquellas ironías de la historia su símbolo es portador del germen de los inconmensurables, de los números irracionales. De hecho es un poema al número áureo.

Para sorpresa de los pitagóricos su símbolo contiene el número áureo como razón entre segmentos no una sino varias veces. De hecho el cociente entre cada segmento de la estrella y el inmediato menor es el número de oro.

¿Cómo lo descubrieron?

Con toda seguridad fue al intentar resolver el problema de dividir un segmento en dos partes de tal manera que el cociente entre la parte mayor y la menor coincida con el cociente entre la longitud total y la parte mayor.

Euclides. Elementos VI.3

"Un segmento está dividido en media y extrema razón cuando el segmento total es a la parte mayor como ésta a la menor "

Desde los griegos hasta nuestro días el número áureo ha sido el patrón de armonía y un símbolo de perfección en todas las Artes: escultura, pintura, arquitectura... y hasta en los objetos más cotidianos, desde una tarjeta de crédito hasta un paquete de tabaco tienen la proporción áurea.

Pero además de su omnipresencia en las creaciones humanas y en la Naturaleza, la divina proporción nos guarda muchas más sorpresas, en concreto es maravillosa su relación estrecha con el número 1.

Un número llamado e

¿ Qué pueden tener en común los cables del tendido eléctrico, las cuentas bancarias, el desarrollo de una colonia de bacterias, la prueba del carbono 14 para datar restos orgánicos, las encuestas de población, la probabilidad de sacar 70 veces un número par al lanzar un dado 100 veces...?

Aparentemente nada. Sin embargo en todas estas situaciones interviene un extraño número comprendido entre 2 y 3, que tiene infinitas cifras decimales y un origen un tanto exótico.

Al igual que el más famoso número pi, los matemáticos le conocen mediante una letra. Es un número llamado e.

2,71828182845.........

Es la base de los logaritmos naturales que aparecen en nuestras calculadoras, es el número de Euler. A él le debemos su nombre y su definición precisa:

Nos sorprenderá su presencia en las situaciones más dispares.

Es el número del crecimiento continuo

Del crecimiento logístico:

De las dataciones con carbono 14

Y nos sorprenderán también sus extrañas relaciones con los números naturales:

El número p. El número de los círculos, de las esferas y mucho más...

El más popular entre los inconmensurables. ¿Quién no conoce a p?

Este número extiende sus dominios por el mundo de las formas y los cuerpos redondos. Si queremos calcular la longitud, el área o el volumen de objetos redondos no nos quedará más remedio que recurrir a p

Sin embargo, como e, es una caja de sorpresas con increíbles, para nosotros y para muchos matemáticos notables cuando las descubrieron, relaciones con los números naturales:

Y para terminar, ¡mucho más que magia!. Por que los cinco números más emblemáticos de las Matemáticas, el 0, el 1, la unidad imaginara i, y los irracionales p y e, está relacionados entre sí de forma extraña.

Las ligaduras que los unen en su viaje por el universo vienen manifestada por la fórmula más bella de las matemáticas. Cómo no, descubierta por Leonhard Euler